Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27106 / 10586
↖ ↑ ↗
← N 53.579461°
E117.795410°		 ← 725.30 m → N 53.579461°
E117.806397°		 →
↑
725.34 m
↓
↑
725.34 m
↓
N 53.572938°
E117.795410°		 ← 725.41 m →
526 126 m²		 N 53.572938°
E117.806397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827224731445312 y=0.323074340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827224731445312 × 215)
    floor (0.827224731445312 × 32768)
    floor (27106.5)     		tx = 27106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323074340820312 × 215)
    floor (0.323074340820312 × 32768)
    floor (10586.5)     		ty = 10586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27106 / 10586 ti = "15/27106/10586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27106/10586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27106 ÷ 215
    27106 ÷ 32768     		x = 0.82720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10586 ÷ 215
    10586 ÷ 32768     		y = 0.32305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82720947265625 × 2 - 1) × π
    0.6544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05591775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32305908203125 × 2 - 1) × π
    0.3538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11175257598834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05591775} λ = 2.05591775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11175257598834))-π/2
    2×atan(3.03968100087153)-π/2
    2×1.25296717064359-π/2
    2.50593434128718-1.57079632675     		φ = 0.93513801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05591775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.795410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93513801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.579461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27106 KachelY 10586 2.05591775 0.93513801 117.795410 53.579461
    Oben rechts KachelX + 1 27107 KachelY 10586 2.05610950 0.93513801 117.806397 53.579461
    Unten links KachelX 27106 KachelY + 1 10587 2.05591775 0.93502416 117.795410 53.572938
    Unten rechts KachelX + 1 27107 KachelY + 1 10587 2.05610950 0.93502416 117.806397 53.572938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93513801-0.93502416) × R
    0.000113849999999971 × 6371000     		dl = 725.338349999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93513801-0.93502416) × R
    0.000113849999999971 × 6371000     		dr = 725.338349999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05591775-2.05610950) × cos(0.93513801) × R
    0.000191749999999935 × 0.593707378000488 × 6371000     		do = 725.296235979736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05591775-2.05610950) × cos(0.93502416) × R
    0.000191749999999935 × 0.593798987087031 × 6371000     		du = 725.408149235515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93513801)-sin(0.93502416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593707378000488-0.593798987087031)×R²
    abs(2.05610950-2.05591775)×9.16090865433761e-05×R²
    0.000191749999999935×9.16090865433761e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.16090865433761e-05×40589641000000     		ar = 526125.763122915m²