Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27101 / 24987
↖ ↑ ↗
← S 68.249039°
E117.740478°		 ← 452.71 m → S 68.249039°
E117.751465°		 →
↑
452.66 m
↓
↑
452.66 m
↓
S 68.253110°
E117.740478°		 ← 452.63 m →
204 904 m²		 S 68.253110°
E117.751465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827072143554688 y=0.762557983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827072143554688 × 215)
    floor (0.827072143554688 × 32768)
    floor (27101.5)     		tx = 27101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762557983398438 × 215)
    floor (0.762557983398438 × 32768)
    floor (24987.5)     		ty = 24987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27101 / 24987 ti = "15/27101/24987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27101/24987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27101 ÷ 215
    27101 ÷ 32768     		x = 0.827056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24987 ÷ 215
    24987 ÷ 32768     		y = 0.762542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827056884765625 × 2 - 1) × π
    0.65411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05495901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.52508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64960458972537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05495901} λ = 2.05495901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64960458972537))-π/2
    2×atan(0.192125862143276)-π/2
    2×0.189812936513825-π/2
    0.37962587302765-1.57079632675     		φ = -1.19117045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05495901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.740478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19117045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.249039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27101 KachelY 24987 2.05495901 -1.19117045 117.740478 -68.249039
    Oben rechts KachelX + 1 27102 KachelY 24987 2.05515076 -1.19117045 117.751465 -68.249039
    Unten links KachelX 27101 KachelY + 1 24988 2.05495901 -1.19124150 117.740478 -68.253110
    Unten rechts KachelX + 1 27102 KachelY + 1 24988 2.05515076 -1.19124150 117.751465 -68.253110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19117045--1.19124150) × R
    7.10500000000724e-05 × 6371000     		dl = 452.659550000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19117045--1.19124150) × R
    7.10500000000724e-05 × 6371000     		dr = 452.659550000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05495901-2.05515076) × cos(-1.19117045) × R
    0.000191749999999935 × 0.37057300847263 × 6371000     		do = 452.706532140594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05495901-2.05515076) × cos(-1.19124150) × R
    0.000191749999999935 × 0.370507016059995 × 6371000     		du = 452.625913219117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19117045)-sin(-1.19124150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37057300847263-0.370507016059995)×R²
    abs(2.05515076-2.05495901)×6.59924126348854e-05×R²
    0.000191749999999935×6.59924126348854e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.59924126348854e-05×40589641000000     		ar = 204903.688744844m²