Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27100 / 24988
↖ ↑ ↗
← S 68.253110°
E117.729492°		 ← 452.60 m → S 68.253110°
E117.740478°		 →
↑
452.60 m
↓
↑
452.60 m
↓
S 68.257181°
E117.729492°		 ← 452.52 m →
204 828 m²		 S 68.257181°
E117.740478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827041625976562 y=0.762588500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827041625976562 × 215)
    floor (0.827041625976562 × 32768)
    floor (27100.5)     		tx = 27100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762588500976562 × 215)
    floor (0.762588500976562 × 32768)
    floor (24988.5)     		ty = 24988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27100 / 24988 ti = "15/27100/24988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27100/24988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27100 ÷ 215
    27100 ÷ 32768     		x = 0.8270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24988 ÷ 215
    24988 ÷ 32768     		y = 0.7625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8270263671875 × 2 - 1) × π
    0.654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05476727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64979633732385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05476727} λ = 2.05476727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64979633732385))-π/2
    2×atan(0.192089026002338)-π/2
    2×0.1897774114355-π/2
    0.379554822871-1.57079632675     		φ = -1.19124150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05476727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.729492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19124150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.253110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27100 KachelY 24988 2.05476727 -1.19124150 117.729492 -68.253110
    Oben rechts KachelX + 1 27101 KachelY 24988 2.05495901 -1.19124150 117.740478 -68.253110
    Unten links KachelX 27100 KachelY + 1 24989 2.05476727 -1.19131254 117.729492 -68.257181
    Unten rechts KachelX + 1 27101 KachelY + 1 24989 2.05495901 -1.19131254 117.740478 -68.257181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19124150--1.19131254) × R
    7.10399999999112e-05 × 6371000     		dl = 452.595839999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19124150--1.19131254) × R
    7.10399999999112e-05 × 6371000     		dr = 452.595839999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05476727-2.05495901) × cos(-1.19124150) × R
    0.000191739999999996 × 0.370507016059995 × 6371000     		do = 452.602308217267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05476727-2.05495901) × cos(-1.19131254) × R
    0.000191739999999996 × 0.370441031065563 × 6371000     		du = 452.521702562061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19124150)-sin(-1.19131254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370507016059995-0.370441031065563)×R²
    abs(2.05495901-2.05476727)×6.59849944322777e-05×R²
    0.000191739999999996×6.59849944322777e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.59849944322777e-05×40589641000000     		ar = 204827.681067494m²