Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27100 / 10593
↖ ↑ ↗
← N 53.533778°
E117.729492°		 ← 726.04 m → N 53.533778°
E117.740478°		 →
↑
726.10 m
↓
↑
726.10 m
↓
N 53.527248°
E117.729492°		 ← 726.15 m →
527 222 m²		 N 53.527248°
E117.740478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827041625976562 y=0.323287963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827041625976562 × 215)
    floor (0.827041625976562 × 32768)
    floor (27100.5)     		tx = 27100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323287963867188 × 215)
    floor (0.323287963867188 × 32768)
    floor (10593.5)     		ty = 10593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27100 / 10593 ti = "15/27100/10593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27100/10593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27100 ÷ 215
    27100 ÷ 32768     		x = 0.8270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10593 ÷ 215
    10593 ÷ 32768     		y = 0.323272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8270263671875 × 2 - 1) × π
    0.654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05476727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323272705078125 × 2 - 1) × π
    0.35345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11041034279898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05476727} λ = 2.05476727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11041034279898))-π/2
    2×atan(3.03560377705178)-π/2
    2×1.25256850856182-π/2
    2.50513701712364-1.57079632675     		φ = 0.93434069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05476727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.729492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93434069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.533778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27100 KachelY 10593 2.05476727 0.93434069 117.729492 53.533778
    Oben rechts KachelX + 1 27101 KachelY 10593 2.05495901 0.93434069 117.740478 53.533778
    Unten links KachelX 27100 KachelY + 1 10594 2.05476727 0.93422672 117.729492 53.527248
    Unten rechts KachelX + 1 27101 KachelY + 1 10594 2.05495901 0.93422672 117.740478 53.527248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93434069-0.93422672) × R
    0.000113970000000019 × 6371000     		dl = 726.10287000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93434069-0.93422672) × R
    0.000113970000000019 × 6371000     		dr = 726.10287000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05476727-2.05495901) × cos(0.93434069) × R
    0.000191739999999996 × 0.594348777490457 × 6371000     		do = 726.041928811228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05476727-2.05495901) × cos(0.93422672) × R
    0.000191739999999996 × 0.594440429146774 × 6371000     		du = 726.153888232786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93434069)-sin(0.93422672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594348777490457-0.594440429146774)×R²
    abs(2.05495901-2.05476727)×9.16516563174152e-05×R²
    0.000191739999999996×9.16516563174152e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.16516563174152e-05×40589641000000     		ar = 527221.775849982m²