Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 271 / 287
↖ ↑ ↗
← S 21.289374°
E 10.546875°		 ← 72.849 km → S 21.289374°
E 11.250000°		 →
↑
72.685 km
↓
↑
72.685 km
↓
S 21.943045°
E 10.546875°		 ← 72.520 km →
5 283.11 km²		 S 21.943045°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5302734375 y=0.5615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5302734375 × 29)
    floor (0.5302734375 × 512)
    floor (271.5)     		tx = 271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5615234375 × 29)
    floor (0.5615234375 × 512)
    floor (287.5)     		ty = 287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 271 / 287 ti = "9/271/287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/271/287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 271 ÷ 29
    271 ÷ 512     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 287 ÷ 29
    287 ÷ 512     		y = 0.560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.560546875 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.380427235384766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.380427235384766))-π/2
    2×atan(0.683569301823814)-π/2
    2×0.599613324302808-π/2
    1.19922664860562-1.57079632675     		φ = -0.37156968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37156968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.289374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 271 KachelY 287 0.18407769 -0.37156968 10.546875 -21.289374
    Oben rechts KachelX + 1 272 KachelY 287 0.19634954 -0.37156968 11.250000 -21.289374
    Unten links KachelX 271 KachelY + 1 288 0.18407769 -0.38297839 10.546875 -21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 272 KachelY + 1 288 0.19634954 -0.38297839 11.250000 -21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37156968--0.38297839) × R
    0.01140871 × 6371000     		dl = 72684.8914099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37156968--0.38297839) × R
    0.01140871 × 6371000     		dr = 72684.8914099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.19634954) × cos(-0.37156968) × R
    0.01227185 × 0.931758576749633 × 6371000     		do = 72848.5718933314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.19634954) × cos(-0.38297839) × R
    0.01227185 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 72519.9800210133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37156968)-sin(-0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931758576749633-0.927555772393619)×R²
    abs(0.19634954-0.18407769)×0.0042028043560135×R²
    0.01227185×0.0042028043560135×6371000²
    0.01227185×0.0042028043560135×40589641000000     		ar = 5283106008.78743m²