Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27099 / 10650
↖ ↑ ↗
← N 53.159947°
E117.718506°		 ← 732.47 m → N 53.159947°
E117.729492°		 →
↑
732.54 m
↓
↑
732.54 m
↓
N 53.153359°
E117.718506°		 ← 732.59 m →
536 606 m²		 N 53.153359°
E117.729492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827011108398438 y=0.325027465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827011108398438 × 215)
    floor (0.827011108398438 × 32768)
    floor (27099.5)     		tx = 27099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325027465820312 × 215)
    floor (0.325027465820312 × 32768)
    floor (10650.5)     		ty = 10650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27099 / 10650 ti = "15/27099/10650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27099/10650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27099 ÷ 215
    27099 ÷ 32768     		x = 0.826995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10650 ÷ 215
    10650 ÷ 32768     		y = 0.32501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826995849609375 × 2 - 1) × π
    0.65399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05457552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32501220703125 × 2 - 1) × π
    0.3499755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09948072968561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05457552} λ = 2.05457552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09948072968561))-π/2
    2×atan(3.00260645466475)-π/2
    2×1.2493062142099-π/2
    2.49861242841981-1.57079632675     		φ = 0.92781610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05457552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.718506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92781610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.159947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27099 KachelY 10650 2.05457552 0.92781610 117.718506 53.159947
    Oben rechts KachelX + 1 27100 KachelY 10650 2.05476727 0.92781610 117.729492 53.159947
    Unten links KachelX 27099 KachelY + 1 10651 2.05457552 0.92770112 117.718506 53.153359
    Unten rechts KachelX + 1 27100 KachelY + 1 10651 2.05476727 0.92770112 117.729492 53.153359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92781610-0.92770112) × R
    0.000114979999999987 × 6371000     		dl = 732.537579999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92781610-0.92770112) × R
    0.000114979999999987 × 6371000     		dr = 732.537579999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05457552-2.05476727) × cos(0.92781610) × R
    0.000191749999999935 × 0.599583213024718 × 6371000     		do = 732.474386671859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05457552-2.05476727) × cos(0.92770112) × R
    0.000191749999999935 × 0.599675228983277 × 6371000     		du = 732.586796978461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92781610)-sin(0.92770112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599583213024718-0.599675228983277)×R²
    abs(2.05476727-2.05457552)×9.20159585593439e-05×R²
    0.000191749999999935×9.20159585593439e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.20159585593439e-05×40589641000000     		ar = 536606.18760297m²