Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27098 / 9272
↖ ↑ ↗
← N 77.998190°
W 31.146240°		 ← 127.01 m → N 77.998190°
W 31.140747°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
N 77.997048°
W 31.146240°		 ← 127.02 m →
16 136 m²		 N 77.997048°
W 31.140747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413490295410156 y=0.141487121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413490295410156 × 216)
    floor (0.413490295410156 × 65536)
    floor (27098.5)     		tx = 27098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141487121582031 × 216)
    floor (0.141487121582031 × 65536)
    floor (9272.5)     		ty = 9272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27098 / 9272 ti = "16/27098/9272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27098/9272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27098 ÷ 216
    27098 ÷ 65536     		x = 0.413482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9272 ÷ 216
    9272 ÷ 65536     		y = 0.1414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.17303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54360444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1414794921875 × 2 - 1) × π
    0.717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25265078694568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54360444} λ = -0.54360444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25265078694568))-π/2
    2×atan(9.51291916573172)-π/2
    2×1.46606077779169-π/2
    2.93212155558338-1.57079632675     		φ = 1.36132523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54360444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.146240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36132523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.998190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27098 KachelY 9272 -0.54360444 1.36132523 -31.146240 77.998190
    Oben rechts KachelX + 1 27099 KachelY 9272 -0.54350857 1.36132523 -31.140747 77.998190
    Unten links KachelX 27098 KachelY + 1 9273 -0.54360444 1.36130529 -31.146240 77.997048
    Unten rechts KachelX + 1 27099 KachelY + 1 9273 -0.54350857 1.36130529 -31.140747 77.997048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36132523-1.36130529) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dl = 127.037740000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36132523-1.36130529) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dr = 127.037740000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54360444--0.54350857) × cos(1.36132523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207942587027589 × 6371000     		do = 127.00878901861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54360444--0.54350857) × cos(1.36130529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207962091118448 × 6371000     		du = 127.020701878771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36132523)-sin(1.36130529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207942587027589-0.207962091118448)×R²
    abs(-0.54350857--0.54360444)×1.95040908580468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95040908580468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95040908580468e-05×40589641000000     		ar = 16135.6662092582m²