Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27098 / 6775
↖ ↑ ↗
← N 80.540200°
W 31.146240°		 ← 100.39 m → N 80.540200°
W 31.140747°		 →
↑
100.41 m
↓
↑
100.41 m
↓
N 80.539297°
W 31.146240°		 ← 100.40 m →
10 080 m²		 N 80.539297°
W 31.140747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413490295410156 y=0.103385925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413490295410156 × 216)
    floor (0.413490295410156 × 65536)
    floor (27098.5)     		tx = 27098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103385925292969 × 216)
    floor (0.103385925292969 × 65536)
    floor (6775.5)     		ty = 6775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27098 / 6775 ti = "16/27098/6775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27098/6775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27098 ÷ 216
    27098 ÷ 65536     		x = 0.413482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6775 ÷ 216
    6775 ÷ 65536     		y = 0.103378295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.17303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54360444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103378295898438 × 2 - 1) × π
    0.793243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49204766364824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54360444} λ = -0.54360444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49204766364824))-π/2
    2×atan(12.0859988603975)-π/2
    2×1.48824399910902-π/2
    2.97648799821804-1.57079632675     		φ = 1.40569167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54360444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.146240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40569167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.540200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27098 KachelY 6775 -0.54360444 1.40569167 -31.146240 80.540200
    Oben rechts KachelX + 1 27099 KachelY 6775 -0.54350857 1.40569167 -31.140747 80.540200
    Unten links KachelX 27098 KachelY + 1 6776 -0.54360444 1.40567591 -31.146240 80.539297
    Unten rechts KachelX + 1 27099 KachelY + 1 6776 -0.54350857 1.40567591 -31.140747 80.539297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40569167-1.40567591) × R
    1.57599999999203e-05 × 6371000     		dl = 100.406959999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40569167-1.40567591) × R
    1.57599999999203e-05 × 6371000     		dr = 100.406959999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54360444--0.54350857) × cos(1.40569167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164355565474259 × 6371000     		do = 100.386369323109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54360444--0.54350857) × cos(1.40567591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164371111136126 × 6371000     		du = 100.395864423254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40569167)-sin(1.40567591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164355565474259-0.164371111136126)×R²
    abs(-0.54350857--0.54360444)×1.55456618669281e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55456618669281e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55456618669281e-05×40589641000000     		ar = 10079.9668564833m²