Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27098 / 10588
↖ ↑ ↗
← N 53.566414°
E117.707520°		 ← 725.52 m → N 53.566414°
E117.718506°		 →
↑
725.59 m
↓
↑
725.59 m
↓
N 53.559889°
E117.707520°		 ← 725.63 m →
526 473 m²		 N 53.559889°
E117.718506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826980590820312 y=0.323135375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826980590820312 × 215)
    floor (0.826980590820312 × 32768)
    floor (27098.5)     		tx = 27098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323135375976562 × 215)
    floor (0.323135375976562 × 32768)
    floor (10588.5)     		ty = 10588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27098 / 10588 ti = "15/27098/10588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27098/10588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27098 ÷ 215
    27098 ÷ 32768     		x = 0.82696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10588 ÷ 215
    10588 ÷ 32768     		y = 0.3231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82696533203125 × 2 - 1) × π
    0.6539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05438377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3231201171875 × 2 - 1) × π
    0.353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11136908079138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05438377} λ = 2.05438377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11136908079138))-π/2
    2×atan(3.0385155212996)-π/2
    2×1.25285331111421-π/2
    2.50570662222842-1.57079632675     		φ = 0.93491030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05438377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.707520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93491030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27098 KachelY 10588 2.05438377 0.93491030 117.707520 53.566414
    Oben rechts KachelX + 1 27099 KachelY 10588 2.05457552 0.93491030 117.718506 53.566414
    Unten links KachelX 27098 KachelY + 1 10589 2.05438377 0.93479641 117.707520 53.559889
    Unten rechts KachelX + 1 27099 KachelY + 1 10589 2.05457552 0.93479641 117.718506 53.559889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93491030-0.93479641) × R
    0.00011388999999995 × 6371000     		dl = 725.593189999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93491030-0.93479641) × R
    0.00011388999999995 × 6371000     		dr = 725.593189999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05438377-2.05457552) × cos(0.93491030) × R
    0.000191750000000379 × 0.593890596522316 × 6371000     		do = 725.520062919009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05438377-2.05457552) × cos(0.93479641) × R
    0.000191750000000379 × 0.593982222392688 × 6371000     		du = 725.631996678572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93491030)-sin(0.93479641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593890596522316-0.593982222392688)×R²
    abs(2.05457552-2.05438377)×9.16258703728134e-05×R²
    0.000191750000000379×9.16258703728134e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.16258703728134e-05×40589641000000     		ar = 526473.026618319m²