Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27097 / 7448
↖ ↑ ↗
← N 79.912854°
W 31.151734°		 ← 106.99 m → N 79.912854°
W 31.146240°		 →
↑
106.97 m
↓
↑
106.97 m
↓
N 79.911892°
W 31.151734°		 ← 107 m →
11 445 m²		 N 79.911892°
W 31.146240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413475036621094 y=0.113655090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413475036621094 × 216)
    floor (0.413475036621094 × 65536)
    floor (27097.5)     		tx = 27097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113655090332031 × 216)
    floor (0.113655090332031 × 65536)
    floor (7448.5)     		ty = 7448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27097 / 7448 ti = "16/27097/7448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27097/7448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27097 ÷ 216
    27097 ÷ 65536     		x = 0.413467407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7448 ÷ 216
    7448 ÷ 65536     		y = 0.1136474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413467407226562 × 2 - 1) × π
    -0.173065185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54370032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1136474609375 × 2 - 1) × π
    0.772705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42752459675964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54370032} λ = -0.54370032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42752459675964))-π/2
    2×atan(11.330799039259)-π/2
    2×1.48276937068456-π/2
    2.96553874136912-1.57079632675     		φ = 1.39474241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54370032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.151734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39474241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.912854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27097 KachelY 7448 -0.54370032 1.39474241 -31.151734 79.912854
    Oben rechts KachelX + 1 27098 KachelY 7448 -0.54360444 1.39474241 -31.146240 79.912854
    Unten links KachelX 27097 KachelY + 1 7449 -0.54370032 1.39472562 -31.151734 79.911892
    Unten rechts KachelX + 1 27098 KachelY + 1 7449 -0.54360444 1.39472562 -31.146240 79.911892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39474241-1.39472562) × R
    1.67900000000998e-05 × 6371000     		dl = 106.969090000636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39474241-1.39472562) × R
    1.67900000000998e-05 × 6371000     		dr = 106.969090000636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54370032--0.54360444) × cos(1.39474241) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.175145860544723 × 6371000     		do = 106.988108129671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54370032--0.54360444) × cos(1.39472562) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.175162390988552 × 6371000     		du = 106.99820577575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39474241)-sin(1.39472562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175145860544723-0.175162390988552)×R²
    abs(-0.54360444--0.54370032)×1.65304438294045e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.65304438294045e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.65304438294045e-05×40589641000000     		ar = 11444.9606355163m²