Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27096 / 10634
↖ ↑ ↗
← N 53.265213°
E117.685547°		 ← 730.68 m → N 53.265213°
E117.696533°		 →
↑
730.69 m
↓
↑
730.69 m
↓
N 53.258642°
E117.685547°		 ← 730.79 m →
533 939 m²		 N 53.258642°
E117.696533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826919555664062 y=0.324539184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826919555664062 × 215)
    floor (0.826919555664062 × 32768)
    floor (27096.5)     		tx = 27096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324539184570312 × 215)
    floor (0.324539184570312 × 32768)
    floor (10634.5)     		ty = 10634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27096 / 10634 ti = "15/27096/10634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27096/10634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27096 ÷ 215
    27096 ÷ 32768     		x = 0.826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10634 ÷ 215
    10634 ÷ 32768     		y = 0.32452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826904296875 × 2 - 1) × π
    0.65380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05400027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32452392578125 × 2 - 1) × π
    0.3509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10254869126129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05400027} λ = 2.05400027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10254869126129))-π/2
    2×atan(3.01183248120545)-π/2
    2×1.25022483460108-π/2
    2.50044966920216-1.57079632675     		φ = 0.92965334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05400027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92965334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.265213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27096 KachelY 10634 2.05400027 0.92965334 117.685547 53.265213
    Oben rechts KachelX + 1 27097 KachelY 10634 2.05419202 0.92965334 117.696533 53.265213
    Unten links KachelX 27096 KachelY + 1 10635 2.05400027 0.92953865 117.685547 53.258642
    Unten rechts KachelX + 1 27097 KachelY + 1 10635 2.05419202 0.92953865 117.696533 53.258642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92965334-0.92953865) × R
    0.000114689999999973 × 6371000     		dl = 730.689989999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92965334-0.92953865) × R
    0.000114689999999973 × 6371000     		dr = 730.689989999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05400027-2.05419202) × cos(0.92965334) × R
    0.000191749999999935 × 0.598111835928641 × 6371000     		do = 730.676894659741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05400027-2.05419202) × cos(0.92953865) × R
    0.000191749999999935 × 0.598203746011272 × 6371000     		du = 730.789175624153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92965334)-sin(0.92953865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598111835928641-0.598203746011272)×R²
    abs(2.05419202-2.05400027)×9.19100826303199e-05×R²
    0.000191749999999935×9.19100826303199e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.19100826303199e-05×40589641000000     		ar = 533939.314725496m²