Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27095 / 7449
↖ ↑ ↗
← N 79.911892°
W 31.162720°		 ← 106.99 m → N 79.911892°
W 31.157227°		 →
↑
106.97 m
↓
↑
106.97 m
↓
N 79.910930°
W 31.162720°		 ← 107 m →
11 445 m²		 N 79.910930°
W 31.157227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413444519042969 y=0.113670349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413444519042969 × 216)
    floor (0.413444519042969 × 65536)
    floor (27095.5)     		tx = 27095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113670349121094 × 216)
    floor (0.113670349121094 × 65536)
    floor (7449.5)     		ty = 7449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27095 / 7449 ti = "16/27095/7449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27095/7449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27095 ÷ 216
    27095 ÷ 65536     		x = 0.413436889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7449 ÷ 216
    7449 ÷ 65536     		y = 0.113662719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413436889648438 × 2 - 1) × π
    -0.173126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54389206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113662719726562 × 2 - 1) × π
    0.772674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4274287229604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54389206} λ = -0.54389206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4274287229604))-π/2
    2×atan(11.3297127645802)-π/2
    2×1.48276097433897-π/2
    2.96552194867795-1.57079632675     		φ = 1.39472562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54389206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.162720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39472562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.911892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27095 KachelY 7449 -0.54389206 1.39472562 -31.162720 79.911892
    Oben rechts KachelX + 1 27096 KachelY 7449 -0.54379619 1.39472562 -31.157227 79.911892
    Unten links KachelX 27095 KachelY + 1 7450 -0.54389206 1.39470883 -31.162720 79.910930
    Unten rechts KachelX + 1 27096 KachelY + 1 7450 -0.54379619 1.39470883 -31.157227 79.910930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39472562-1.39470883) × R
    1.67900000000998e-05 × 6371000     		dl = 106.969090000636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39472562-1.39470883) × R
    1.67900000000998e-05 × 6371000     		dr = 106.969090000636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54389206--0.54379619) × cos(1.39472562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175162390988552 × 6371000     		do = 106.987046179764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54389206--0.54379619) × cos(1.39470883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175178921383003 × 6371000     		du = 106.997142742527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39472562)-sin(1.39470883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175162390988552-0.175178921383003)×R²
    abs(-0.54379619--0.54389206)×1.65303944504314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65303944504314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65303944504314e-05×40589641000000     		ar = 11444.8469822967m²