Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27092 / 7374
↖ ↑ ↗
← N 79.983802°
W 31.179199°		 ← 106.23 m → N 79.983802°
W 31.173706°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 79.982846°
W 31.179199°		 ← 106.24 m →
11 290 m²		 N 79.982846°
W 31.173706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413398742675781 y=0.112525939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413398742675781 × 216)
    floor (0.413398742675781 × 65536)
    floor (27092.5)     		tx = 27092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112525939941406 × 216)
    floor (0.112525939941406 × 65536)
    floor (7374.5)     		ty = 7374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27092 / 7374 ti = "16/27092/7374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27092/7374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27092 ÷ 216
    27092 ÷ 65536     		x = 0.41339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7374 ÷ 216
    7374 ÷ 65536     		y = 0.112518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54417968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112518310546875 × 2 - 1) × π
    0.77496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43461925790341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54417968} λ = -0.54417968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43461925790341))-π/2
    2×atan(11.4114730579552)-π/2
    2×1.48338850592946-π/2
    2.96677701185891-1.57079632675     		φ = 1.39598069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54417968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.179199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39598069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.983802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27092 KachelY 7374 -0.54417968 1.39598069 -31.179199 79.983802
    Oben rechts KachelX + 1 27093 KachelY 7374 -0.54408381 1.39598069 -31.173706 79.983802
    Unten links KachelX 27092 KachelY + 1 7375 -0.54417968 1.39596401 -31.179199 79.982846
    Unten rechts KachelX + 1 27093 KachelY + 1 7375 -0.54408381 1.39596401 -31.173706 79.982846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39598069-1.39596401) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dl = 106.268280000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39598069-1.39596401) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dr = 106.268280000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54417968--0.54408381) × cos(1.39598069) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.173926587294812 × 6371000     		do = 106.232232397629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54417968--0.54408381) × cos(1.39596401) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.173943013044419 × 6371000     		du = 106.242265044603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39598069)-sin(1.39596401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173926587294812-0.173943013044419)×R²
    abs(-0.54408381--0.54417968)×1.64257496075293e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.64257496075293e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.64257496075293e-05×40589641000000     		ar = 11289.6496939338m²