Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27092 / 6765
↖ ↑ ↗
← N 80.549224°
W 31.179199°		 ← 100.29 m → N 80.549224°
W 31.173706°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
N 80.548322°
W 31.179199°		 ← 100.30 m →
10 058 m²		 N 80.548322°
W 31.173706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413398742675781 y=0.103233337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413398742675781 × 216)
    floor (0.413398742675781 × 65536)
    floor (27092.5)     		tx = 27092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103233337402344 × 216)
    floor (0.103233337402344 × 65536)
    floor (6765.5)     		ty = 6765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27092 / 6765 ti = "16/27092/6765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27092/6765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27092 ÷ 216
    27092 ÷ 65536     		x = 0.41339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6765 ÷ 216
    6765 ÷ 65536     		y = 0.103225708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54417968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103225708007812 × 2 - 1) × π
    0.793548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49300640164064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54417968} λ = -0.54417968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49300640164064))-π/2
    2×atan(12.097591723052)-π/2
    2×1.48832274882778-π/2
    2.97664549765556-1.57079632675     		φ = 1.40584917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54417968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.179199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40584917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.549224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27092 KachelY 6765 -0.54417968 1.40584917 -31.179199 80.549224
    Oben rechts KachelX + 1 27093 KachelY 6765 -0.54408381 1.40584917 -31.173706 80.549224
    Unten links KachelX 27092 KachelY + 1 6766 -0.54417968 1.40583343 -31.179199 80.548322
    Unten rechts KachelX + 1 27093 KachelY + 1 6766 -0.54408381 1.40583343 -31.173706 80.548322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40584917-1.40583343) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40584917-1.40583343) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54417968--0.54408381) × cos(1.40584917) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.164200205253706 × 6371000     		do = 100.291477200568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54417968--0.54408381) × cos(1.40583343) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.164215731594874 × 6371000     		du = 100.300960499866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40584917)-sin(1.40583343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164200205253706-0.164215731594874)×R²
    abs(-0.54408381--0.54417968)×1.55263411679707e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.55263411679707e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.55263411679707e-05×40589641000000     		ar = 10057.6586902943m²