Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27091 / 7376
↖ ↑ ↗
← N 79.981890°
W 31.184692°		 ← 106.26 m → N 79.981890°
W 31.179199°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 79.980935°
W 31.184692°		 ← 106.27 m →
11 293 m²		 N 79.980935°
W 31.179199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413383483886719 y=0.112556457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413383483886719 × 216)
    floor (0.413383483886719 × 65536)
    floor (27091.5)     		tx = 27091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112556457519531 × 216)
    floor (0.112556457519531 × 65536)
    floor (7376.5)     		ty = 7376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27091 / 7376 ti = "16/27091/7376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27091/7376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27091 ÷ 216
    27091 ÷ 65536     		x = 0.413375854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7376 ÷ 216
    7376 ÷ 65536     		y = 0.112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413375854492188 × 2 - 1) × π
    -0.173248291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54427556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112548828125 × 2 - 1) × π
    0.77490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43442751030493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54427556} λ = -0.54427556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43442751030493))-π/2
    2×atan(11.4092851451714)-π/2
    2×1.48337182935185-π/2
    2.9667436587037-1.57079632675     		φ = 1.39594733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54427556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.184692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39594733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.981890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27091 KachelY 7376 -0.54427556 1.39594733 -31.184692 79.981890
    Oben rechts KachelX + 1 27092 KachelY 7376 -0.54417968 1.39594733 -31.179199 79.981890
    Unten links KachelX 27091 KachelY + 1 7377 -0.54427556 1.39593065 -31.184692 79.980935
    Unten rechts KachelX + 1 27092 KachelY + 1 7377 -0.54417968 1.39593065 -31.179199 79.980935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39594733-1.39593065) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dl = 106.268280000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39594733-1.39593065) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dr = 106.268280000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54427556--0.54417968) × cos(1.39594733) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.173959438745632 × 6371000     		do = 106.263380617669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54427556--0.54417968) × cos(1.39593065) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.173975864398445 × 6371000     		du = 106.273414252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39594733)-sin(1.39593065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173959438745632-0.173975864398445)×R²
    abs(-0.54417968--0.54427556)×1.642565281329e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.642565281329e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.642565281329e-05×40589641000000     		ar = 11292.9598144045m²