Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27091 / 25420
↖ ↑ ↗
← S 69.945375°
E117.630615°		 ← 418.90 m → S 69.945375°
E117.641601°		 →
↑
418.89 m
↓
↑
418.89 m
↓
S 69.949142°
E117.630615°		 ← 418.82 m →
175 458 m²		 S 69.949142°
E117.641601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826766967773438 y=0.775772094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826766967773438 × 215)
    floor (0.826766967773438 × 32768)
    floor (27091.5)     		tx = 27091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775772094726562 × 215)
    floor (0.775772094726562 × 32768)
    floor (25420.5)     		ty = 25420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27091 / 25420 ti = "15/27091/25420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27091/25420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27091 ÷ 215
    27091 ÷ 32768     		x = 0.826751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25420 ÷ 215
    25420 ÷ 32768     		y = 0.7757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826751708984375 × 2 - 1) × π
    0.65350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05304154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73263129986731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05304154} λ = 2.05304154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73263129986731))-π/2
    2×atan(0.176818534722986)-π/2
    2×0.175009616939629-π/2
    0.350019233879258-1.57079632675     		φ = -1.22077709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05304154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.630615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22077709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.945375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27091 KachelY 25420 2.05304154 -1.22077709 117.630615 -69.945375
    Oben rechts KachelX + 1 27092 KachelY 25420 2.05323328 -1.22077709 117.641601 -69.945375
    Unten links KachelX 27091 KachelY + 1 25421 2.05304154 -1.22084284 117.630615 -69.949142
    Unten rechts KachelX + 1 27092 KachelY + 1 25421 2.05323328 -1.22084284 117.641601 -69.949142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22077709--1.22084284) × R
    6.57500000000866e-05 × 6371000     		dl = 418.893250000552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22077709--1.22084284) × R
    6.57500000000866e-05 × 6371000     		dr = 418.893250000552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05304154-2.05323328) × cos(-1.22077709) × R
    0.000191739999999996 × 0.342915877912213 × 6371000     		do = 418.897648735177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05304154-2.05323328) × cos(-1.22084284) × R
    0.000191739999999996 × 0.34285411384888 × 6371000     		du = 418.822199266158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22077709)-sin(-1.22084284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342915877912213-0.34285411384888)×R²
    abs(2.05323328-2.05304154)×6.17640633334693e-05×R²
    0.000191739999999996×6.17640633334693e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.17640633334693e-05×40589641000000     		ar = 175457.5949227m²