Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27090 / 6251
↖ ↑ ↗
← N 81.001748°
W 31.190185°		 ← 95.53 m → N 81.001748°
W 31.184692°		 →
↑
95.50 m
↓
↑
95.50 m
↓
N 81.000890°
W 31.190185°		 ← 95.54 m →
9 124 m²		 N 81.000890°
W 31.184692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413368225097656 y=0.0953903198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413368225097656 × 216)
    floor (0.413368225097656 × 65536)
    floor (27090.5)     		tx = 27090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953903198242188 × 216)
    floor (0.0953903198242188 × 65536)
    floor (6251.5)     		ty = 6251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27090 / 6251 ti = "16/27090/6251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27090/6251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27090 ÷ 216
    27090 ÷ 65536     		x = 0.413360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6251 ÷ 216
    6251 ÷ 65536     		y = 0.0953826904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.17327880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54437143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0953826904296875 × 2 - 1) × π
    0.809234619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54228553445006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54437143} λ = -0.54437143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54228553445006))-π/2
    2×atan(12.7086839380917)-π/2
    2×1.49227176904106-π/2
    2.98454353808212-1.57079632675     		φ = 1.41374721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54437143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.190185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41374721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.001748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27090 KachelY 6251 -0.54437143 1.41374721 -31.190185 81.001748
    Oben rechts KachelX + 1 27091 KachelY 6251 -0.54427556 1.41374721 -31.184692 81.001748
    Unten links KachelX 27090 KachelY + 1 6252 -0.54437143 1.41373222 -31.190185 81.000890
    Unten rechts KachelX + 1 27091 KachelY + 1 6252 -0.54427556 1.41373222 -31.184692 81.000890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41374721-1.41373222) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dl = 95.5012899995986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41374721-1.41373222) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dr = 95.5012899995986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54437143--0.54427556) × cos(1.41374721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156404324783983 × 6371000     		do = 95.5298487531625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54437143--0.54427556) × cos(1.41373222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156419130286187 × 6371000     		du = 95.5388917728375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41374721)-sin(1.41373222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156404324783983-0.156419130286187)×R²
    abs(-0.54427556--0.54437143)×1.4805502204257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4805502204257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4805502204257e-05×40589641000000     		ar = 9123.65559930524m²