Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2709 / 1560
↖ ↑ ↗
← N 81.011194°
W120.476074°		 ← 381.73 m → N 81.011194°
W120.454102°		 →
↑
381.81 m
↓
↑
381.81 m
↓
N 81.007760°
W120.476074°		 ← 381.88 m →
145 778 m²		 N 81.007760°
W120.454102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165374755859375 y=0.095245361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165374755859375 × 214)
    floor (0.165374755859375 × 16384)
    floor (2709.5)     		tx = 2709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095245361328125 × 214)
    floor (0.095245361328125 × 16384)
    floor (1560.5)     		ty = 1560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2709 / 1560 ti = "14/2709/1560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2709/1560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2709 ÷ 214
    2709 ÷ 16384     		x = 0.16534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1560 ÷ 214
    1560 ÷ 16384     		y = 0.09521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.6693115234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10270416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09521484375 × 2 - 1) × π
    0.8095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5433401462417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10270416} λ = -2.10270416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5433401462417))-π/2
    2×atan(12.7220937358516)-π/2
    2×1.49235419902427-π/2
    2.98470839804853-1.57079632675     		φ = 1.41391207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10270416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.476074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41391207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.011194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2709 KachelY 1560 -2.10270416 1.41391207 -120.476074 81.011194
    Oben rechts KachelX + 1 2710 KachelY 1560 -2.10232067 1.41391207 -120.454102 81.011194
    Unten links KachelX 2709 KachelY + 1 1561 -2.10270416 1.41385214 -120.476074 81.007760
    Unten rechts KachelX + 1 2710 KachelY + 1 1561 -2.10232067 1.41385214 -120.454102 81.007760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41391207-1.41385214) × R
    5.99300000001524e-05 × 6371000     		dl = 381.814030000971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41391207-1.41385214) × R
    5.99300000001524e-05 × 6371000     		dr = 381.814030000971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10270416--2.10232067) × cos(1.41391207) × R
    0.000383489999999931 × 0.156241491572525 × 6371000     		do = 381.731523021584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10270416--2.10232067) × cos(1.41385214) × R
    0.000383489999999931 × 0.156300685284705 × 6371000     		du = 381.876145974657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41391207)-sin(1.41385214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156241491572525-0.156300685284705)×R²
    abs(-2.10232067--2.10270416)×5.91937121798558e-05×R²
    0.000383489999999931×5.91937121798558e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.91937121798558e-05×40589641000000     		ar = 145778.060762867m²