Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2709 / 1161
↖ ↑ ↗
← N 82.282381°
W120.476074°		 ← 328.10 m → N 82.282381°
W120.454102°		 →
↑
328.17 m
↓
↑
328.17 m
↓
N 82.279430°
W120.476074°		 ← 328.23 m →
107 694 m²		 N 82.279430°
W120.454102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165374755859375 y=0.070892333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165374755859375 × 214)
    floor (0.165374755859375 × 16384)
    floor (2709.5)     		tx = 2709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.070892333984375 × 214)
    floor (0.070892333984375 × 16384)
    floor (1161.5)     		ty = 1161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2709 / 1161 ti = "14/2709/1161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2709/1161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2709 ÷ 214
    2709 ÷ 16384     		x = 0.16534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1161 ÷ 214
    1161 ÷ 16384     		y = 0.07086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.6693115234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10270416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07086181640625 × 2 - 1) × π
    0.8582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.69635472982892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10270416} λ = -2.10270416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69635472982892))-π/2
    2×atan(14.8255898235445)-π/2
    2×1.50344739868413-π/2
    3.00689479736826-1.57079632675     		φ = 1.43609847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10270416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.476074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43609847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.282381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2709 KachelY 1161 -2.10270416 1.43609847 -120.476074 82.282381
    Oben rechts KachelX + 1 2710 KachelY 1161 -2.10232067 1.43609847 -120.454102 82.282381
    Unten links KachelX 2709 KachelY + 1 1162 -2.10270416 1.43604696 -120.476074 82.279430
    Unten rechts KachelX + 1 2710 KachelY + 1 1162 -2.10232067 1.43604696 -120.454102 82.279430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43609847-1.43604696) × R
    5.15099999998103e-05 × 6371000     		dl = 328.170209998792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43609847-1.43604696) × R
    5.15099999998103e-05 × 6371000     		dr = 328.170209998792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10270416--2.10232067) × cos(1.43609847) × R
    0.000383489999999931 × 0.134290910764343 × 6371000     		do = 328.101539341954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10270416--2.10232067) × cos(1.43604696) × R
    0.000383489999999931 × 0.134341954006087 × 6371000     		du = 328.226248945113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43609847)-sin(1.43604696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134290910764343-0.134341954006087)×R²
    abs(-2.10232067--2.10270416)×5.10432417444306e-05×R²
    0.000383489999999931×5.10432417444306e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.10432417444306e-05×40589641000000     		ar = 107693.614079358m²