Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27089 / 7375
↖ ↑ ↗
← N 79.982846°
W 31.195679°		 ← 106.25 m → N 79.982846°
W 31.190185°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 79.981890°
W 31.195679°		 ← 106.26 m →
11 292 m²		 N 79.981890°
W 31.190185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413352966308594 y=0.112541198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413352966308594 × 216)
    floor (0.413352966308594 × 65536)
    floor (27089.5)     		tx = 27089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112541198730469 × 216)
    floor (0.112541198730469 × 65536)
    floor (7375.5)     		ty = 7375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27089 / 7375 ti = "16/27089/7375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27089/7375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27089 ÷ 216
    27089 ÷ 65536     		x = 0.413345336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7375 ÷ 216
    7375 ÷ 65536     		y = 0.112533569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413345336914062 × 2 - 1) × π
    -0.173309326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54446731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112533569335938 × 2 - 1) × π
    0.774932861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43452338410417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54446731} λ = -0.54446731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43452338410417))-π/2
    2×atan(11.4103790491225)-π/2
    2×1.48338016803427-π/2
    2.96676033606854-1.57079632675     		φ = 1.39596401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54446731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.195679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39596401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.982846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27089 KachelY 7375 -0.54446731 1.39596401 -31.195679 79.982846
    Oben rechts KachelX + 1 27090 KachelY 7375 -0.54437143 1.39596401 -31.190185 79.982846
    Unten links KachelX 27089 KachelY + 1 7376 -0.54446731 1.39594733 -31.195679 79.981890
    Unten rechts KachelX + 1 27090 KachelY + 1 7376 -0.54437143 1.39594733 -31.190185 79.981890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39596401-1.39594733) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dl = 106.268279999236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39596401-1.39594733) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dr = 106.268279999236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54446731--0.54437143) × cos(1.39596401) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.173943013044419 × 6371000     		do = 106.253346953896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54446731--0.54437143) × cos(1.39594733) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.173959438745632 × 6371000     		du = 106.263380617792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39596401)-sin(1.39594733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173943013044419-0.173959438745632)×R²
    abs(-0.54437143--0.54446731)×1.64257012124913e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.64257012124913e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.64257012124913e-05×40589641000000     		ar = 11291.8935549577m²