Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27089 / 5871
↖ ↑ ↗
← N 81.322421°
W 31.195679°		 ← 92.16 m → N 81.322421°
W 31.190185°		 →
↑
92.19 m
↓
↑
92.19 m
↓
N 81.321592°
W 31.195679°		 ← 92.17 m →
8 497 m²		 N 81.321592°
W 31.190185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413352966308594 y=0.0895919799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413352966308594 × 216)
    floor (0.413352966308594 × 65536)
    floor (27089.5)     		tx = 27089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0895919799804688 × 216)
    floor (0.0895919799804688 × 65536)
    floor (5871.5)     		ty = 5871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27089 / 5871 ti = "16/27089/5871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27089/5871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27089 ÷ 216
    27089 ÷ 65536     		x = 0.413345336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5871 ÷ 216
    5871 ÷ 65536     		y = 0.0895843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413345336914062 × 2 - 1) × π
    -0.173309326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54446731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0895843505859375 × 2 - 1) × π
    0.820831298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5787175781613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54446731} λ = -0.54446731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5787175781613))-π/2
    2×atan(13.1802247088814)-π/2
    2×1.49507016831133-π/2
    2.99014033662266-1.57079632675     		φ = 1.41934401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54446731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.195679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41934401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.322421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27089 KachelY 5871 -0.54446731 1.41934401 -31.195679 81.322421
    Oben rechts KachelX + 1 27090 KachelY 5871 -0.54437143 1.41934401 -31.190185 81.322421
    Unten links KachelX 27089 KachelY + 1 5872 -0.54446731 1.41932954 -31.195679 81.321592
    Unten rechts KachelX + 1 27090 KachelY + 1 5872 -0.54437143 1.41932954 -31.190185 81.321592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41934401-1.41932954) × R
    1.44700000002107e-05 × 6371000     		dl = 92.1883700013424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41934401-1.41932954) × R
    1.44700000002107e-05 × 6371000     		dr = 92.1883700013424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54446731--0.54437143) × cos(1.41934401) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150873983212357 × 6371000     		do = 92.16159593881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54446731--0.54437143) × cos(1.41932954) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150888287558526 × 6371000     		du = 92.1703337698376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41934401)-sin(1.41932954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150873983212357-0.150888287558526)×R²
    abs(-0.54437143--0.54446731)×1.43043461686698e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.43043461686698e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.43043461686698e-05×40589641000000     		ar = 8496.63006967032m²