Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27088 / 5870
↖ ↑ ↗
← N 81.323250°
W 31.201172°		 ← 92.14 m → N 81.323250°
W 31.195679°		 →
↑
92.12 m
↓
↑
92.12 m
↓
N 81.322421°
W 31.201172°		 ← 92.15 m →
8 489 m²		 N 81.322421°
W 31.195679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413337707519531 y=0.0895767211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413337707519531 × 216)
    floor (0.413337707519531 × 65536)
    floor (27088.5)     		tx = 27088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0895767211914062 × 216)
    floor (0.0895767211914062 × 65536)
    floor (5870.5)     		ty = 5870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27088 / 5870 ti = "16/27088/5870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27088/5870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27088 ÷ 216
    27088 ÷ 65536     		x = 0.413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5870 ÷ 216
    5870 ÷ 65536     		y = 0.089569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.17333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54456318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089569091796875 × 2 - 1) × π
    0.82086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57881345196054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54456318} λ = -0.54456318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57881345196054))-π/2
    2×atan(13.1814884076759)-π/2
    2×1.4950774003996-π/2
    2.99015480079921-1.57079632675     		φ = 1.41935847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54456318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.201172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41935847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.323250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27088 KachelY 5870 -0.54456318 1.41935847 -31.201172 81.323250
    Oben rechts KachelX + 1 27089 KachelY 5870 -0.54446731 1.41935847 -31.195679 81.323250
    Unten links KachelX 27088 KachelY + 1 5871 -0.54456318 1.41934401 -31.201172 81.322421
    Unten rechts KachelX + 1 27089 KachelY + 1 5871 -0.54446731 1.41934401 -31.195679 81.322421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41935847-1.41934401) × R
    1.44599999998274e-05 × 6371000     		dl = 92.1246599989003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41935847-1.41934401) × R
    1.44599999998274e-05 × 6371000     		dr = 92.1246599989003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54456318--0.54446731) × cos(1.41935847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150859688720151 × 6371000     		do = 92.1432528562731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54456318--0.54446731) × cos(1.41934401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150873983212357 × 6371000     		du = 92.1519837572912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41935847)-sin(1.41934401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150859688720151-0.150873983212357)×R²
    abs(-0.54446731--0.54456318)×1.42944922065513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42944922065513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42944922065513e-05×40589641000000     		ar = 8489.06800637987m²