Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27086 / 25022
↖ ↑ ↗
← S 68.391089°
E117.575684°		 ← 449.89 m → S 68.391089°
E117.586670°		 →
↑
449.86 m
↓
↑
449.86 m
↓
S 68.395135°
E117.575684°		 ← 449.81 m →
202 369 m²		 S 68.395135°
E117.586670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826614379882812 y=0.763626098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826614379882812 × 215)
    floor (0.826614379882812 × 32768)
    floor (27086.5)     		tx = 27086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763626098632812 × 215)
    floor (0.763626098632812 × 32768)
    floor (25022.5)     		ty = 25022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27086 / 25022 ti = "15/27086/25022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27086/25022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27086 ÷ 215
    27086 ÷ 32768     		x = 0.82659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25022 ÷ 215
    25022 ÷ 32768     		y = 0.76361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82659912109375 × 2 - 1) × π
    0.6531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05208280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.5272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65631575567218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05208280} λ = 2.05208280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65631575567218))-π/2
    2×atan(0.190840790587263)-π/2
    2×0.188573316831304-π/2
    0.377146633662608-1.57079632675     		φ = -1.19364969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05208280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.575684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19364969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.391089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27086 KachelY 25022 2.05208280 -1.19364969 117.575684 -68.391089
    Oben rechts KachelX + 1 27087 KachelY 25022 2.05227455 -1.19364969 117.586670 -68.391089
    Unten links KachelX 27086 KachelY + 1 25023 2.05208280 -1.19372030 117.575684 -68.395135
    Unten rechts KachelX + 1 27087 KachelY + 1 25023 2.05227455 -1.19372030 117.586670 -68.395135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19364969--1.19372030) × R
    7.0610000000082e-05 × 6371000     		dl = 449.856310000522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19364969--1.19372030) × R
    7.0610000000082e-05 × 6371000     		dr = 449.856310000522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05208280-2.05227455) × cos(-1.19364969) × R
    0.000191749999999935 × 0.368269145550456 × 6371000     		do = 449.892042768247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05208280-2.05227455) × cos(-1.19372030) × R
    0.000191749999999935 × 0.368203497158014 × 6371000     		du = 449.811844115341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19364969)-sin(-1.19372030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368269145550456-0.368203497158014)×R²
    abs(2.05227455-2.05208280)×6.5648392441664e-05×R²
    0.000191749999999935×6.5648392441664e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.5648392441664e-05×40589641000000     		ar = 202368.735407143m²