Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27085 / 7627
↖ ↑ ↗
← N 79.739174°
W 31.217651°		 ← 108.80 m → N 79.739174°
W 31.212158°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 79.738195°
W 31.217651°		 ← 108.81 m →
11 840 m²		 N 79.738195°
W 31.212158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413291931152344 y=0.116386413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413291931152344 × 216)
    floor (0.413291931152344 × 65536)
    floor (27085.5)     		tx = 27085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116386413574219 × 216)
    floor (0.116386413574219 × 65536)
    floor (7627.5)     		ty = 7627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27085 / 7627 ti = "16/27085/7627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27085/7627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27085 ÷ 216
    27085 ÷ 65536     		x = 0.413284301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7627 ÷ 216
    7627 ÷ 65536     		y = 0.116378784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413284301757812 × 2 - 1) × π
    -0.173431396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54485080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116378784179688 × 2 - 1) × π
    0.767242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41036318669566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54485080} λ = -0.54485080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41036318669566))-π/2
    2×atan(11.1380055860223)-π/2
    2×1.48125372986717-π/2
    2.96250745973435-1.57079632675     		φ = 1.39171113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54485080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.217651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39171113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.739174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27085 KachelY 7627 -0.54485080 1.39171113 -31.217651 79.739174
    Oben rechts KachelX + 1 27086 KachelY 7627 -0.54475493 1.39171113 -31.212158 79.739174
    Unten links KachelX 27085 KachelY + 1 7628 -0.54485080 1.39169405 -31.217651 79.738195
    Unten rechts KachelX + 1 27086 KachelY + 1 7628 -0.54475493 1.39169405 -31.212158 79.738195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39171113-1.39169405) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dl = 108.816680000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39171113-1.39169405) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dr = 108.816680000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54485080--0.54475493) × cos(1.39171113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178129475276096 × 6371000     		do = 108.799304975154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54485080--0.54475493) × cos(1.39169405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178146282090662 × 6371000     		du = 108.809570371944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39171113)-sin(1.39169405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178129475276096-0.178146282090662)×R²
    abs(-0.54475493--0.54485080)×1.68068145660616e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68068145660616e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68068145660616e-05×40589641000000     		ar = 11839.7376771373m²