Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27085 / 25382
↖ ↑ ↗
← S 69.801724°
E117.564697°		 ← 421.80 m → S 69.801724°
E117.575684°		 →
↑
421.76 m
↓
↑
421.76 m
↓
S 69.805517°
E117.564697°		 ← 421.72 m →
177 880 m²		 S 69.805517°
E117.575684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826583862304688 y=0.774612426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826583862304688 × 215)
    floor (0.826583862304688 × 32768)
    floor (27085.5)     		tx = 27085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774612426757812 × 215)
    floor (0.774612426757812 × 32768)
    floor (25382.5)     		ty = 25382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27085 / 25382 ti = "15/27085/25382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27085/25382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27085 ÷ 215
    27085 ÷ 32768     		x = 0.826568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25382 ÷ 215
    25382 ÷ 32768     		y = 0.77459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826568603515625 × 2 - 1) × π
    0.65313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05189105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.5491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72534489112506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05189105} λ = 2.05189105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72534489112506))-π/2
    2×atan(0.178111612064231)-π/2
    2×0.176263213541348-π/2
    0.352526427082696-1.57079632675     		φ = -1.21826990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05189105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.564697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21826990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.801724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27085 KachelY 25382 2.05189105 -1.21826990 117.564697 -69.801724
    Oben rechts KachelX + 1 27086 KachelY 25382 2.05208280 -1.21826990 117.575684 -69.801724
    Unten links KachelX 27085 KachelY + 1 25383 2.05189105 -1.21833610 117.564697 -69.805517
    Unten rechts KachelX + 1 27086 KachelY + 1 25383 2.05208280 -1.21833610 117.575684 -69.805517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21826990--1.21833610) × R
    6.62000000000162e-05 × 6371000     		dl = 421.760200000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21826990--1.21833610) × R
    6.62000000000162e-05 × 6371000     		dr = 421.760200000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05189105-2.05208280) × cos(-1.21826990) × R
    0.000191749999999935 × 0.345269966993875 × 6371000     		do = 421.795343525779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05189105-2.05208280) × cos(-1.21833610) × R
    0.000191749999999935 × 0.34520783731164 × 6371000     		du = 421.719443467371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21826990)-sin(-1.21833610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345269966993875-0.34520783731164)×R²
    abs(2.05208280-2.05189105)×6.21296822347905e-05×R²
    0.000191749999999935×6.21296822347905e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.21296822347905e-05×40589641000000     		ar = 177880.482697247m²