Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27084 / 6412
↖ ↑ ↗
← N 80.862365°
W 31.223144°		 ← 97 m → N 80.862365°
W 31.217651°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
N 80.861492°
W 31.223144°		 ← 97.01 m →
9 412 m²		 N 80.861492°
W 31.217651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413276672363281 y=0.0978469848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413276672363281 × 216)
    floor (0.413276672363281 × 65536)
    floor (27084.5)     		tx = 27084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978469848632812 × 216)
    floor (0.0978469848632812 × 65536)
    floor (6412.5)     		ty = 6412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27084 / 6412 ti = "16/27084/6412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27084/6412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27084 ÷ 216
    27084 ÷ 65536     		x = 0.41326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6412 ÷ 216
    6412 ÷ 65536     		y = 0.09783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1734619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54494667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09783935546875 × 2 - 1) × π
    0.8043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5268498527724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54494667} λ = -0.54494667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5268498527724))-π/2
    2×atan(12.5140229656667)-π/2
    2×1.49105541804031-π/2
    2.98211083608062-1.57079632675     		φ = 1.41131451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54494667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.223144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41131451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.862365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27084 KachelY 6412 -0.54494667 1.41131451 -31.223144 80.862365
    Oben rechts KachelX + 1 27085 KachelY 6412 -0.54485080 1.41131451 -31.217651 80.862365
    Unten links KachelX 27084 KachelY + 1 6413 -0.54494667 1.41129928 -31.223144 80.861492
    Unten rechts KachelX + 1 27085 KachelY + 1 6413 -0.54485080 1.41129928 -31.217651 80.861492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41131451-1.41129928) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dl = 97.0303300002084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41131451-1.41129928) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dr = 97.0303300002084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54494667--0.54485080) × cos(1.41131451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158806620649704 × 6371000     		do = 96.9971416878664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54494667--0.54485080) × cos(1.41129928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158821657358121 × 6371000     		du = 97.0063259254685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41131451)-sin(1.41129928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158806620649704-0.158821657358121)×R²
    abs(-0.54485080--0.54494667)×1.50367084169323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50367084169323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50367084169323e-05×40589641000000     		ar = 9412.11024230591m²