Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27083 / 7390
↖ ↑ ↗
← N 79.968503°
W 31.228638°		 ← 106.40 m → N 79.968503°
W 31.223144°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
N 79.967546°
W 31.228638°		 ← 106.41 m →
11 321 m²		 N 79.967546°
W 31.223144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413261413574219 y=0.112770080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413261413574219 × 216)
    floor (0.413261413574219 × 65536)
    floor (27083.5)     		tx = 27083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112770080566406 × 216)
    floor (0.112770080566406 × 65536)
    floor (7390.5)     		ty = 7390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27083 / 7390 ti = "16/27083/7390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27083/7390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27083 ÷ 216
    27083 ÷ 65536     		x = 0.413253784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7390 ÷ 216
    7390 ÷ 65536     		y = 0.112762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413253784179688 × 2 - 1) × π
    -0.173492431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54504255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112762451171875 × 2 - 1) × π
    0.77447509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43308527711557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54504255} λ = -0.54504255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43308527711557))-π/2
    2×atan(11.3939814968127)-π/2
    2×1.48325500509776-π/2
    2.96651001019553-1.57079632675     		φ = 1.39571368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54504255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.228638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39571368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.968503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27083 KachelY 7390 -0.54504255 1.39571368 -31.228638 79.968503
    Oben rechts KachelX + 1 27084 KachelY 7390 -0.54494667 1.39571368 -31.223144 79.968503
    Unten links KachelX 27083 KachelY + 1 7391 -0.54504255 1.39569698 -31.228638 79.967546
    Unten rechts KachelX + 1 27084 KachelY + 1 7391 -0.54494667 1.39569698 -31.223144 79.967546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39571368-1.39569698) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39571368-1.39569698) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54504255--0.54494667) × cos(1.39571368) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174189521491171 × 6371000     		do = 106.403927003427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54504255--0.54494667) × cos(1.39569698) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.17420596615972 × 6371000     		du = 106.413972253548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39571368)-sin(1.39569698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174189521491171-0.17420596615972)×R²
    abs(-0.54494667--0.54504255)×1.6444668548582e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.6444668548582e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.6444668548582e-05×40589641000000     		ar = 11321.4546821401m²