Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27083 / 7388
↖ ↑ ↗
← N 79.970417°
W 31.228638°		 ← 106.38 m → N 79.970417°
W 31.223144°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
N 79.969460°
W 31.228638°		 ← 106.39 m →
11 319 m²		 N 79.969460°
W 31.223144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413261413574219 y=0.112739562988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413261413574219 × 216)
    floor (0.413261413574219 × 65536)
    floor (27083.5)     		tx = 27083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112739562988281 × 216)
    floor (0.112739562988281 × 65536)
    floor (7388.5)     		ty = 7388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27083 / 7388 ti = "16/27083/7388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27083/7388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27083 ÷ 216
    27083 ÷ 65536     		x = 0.413253784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7388 ÷ 216
    7388 ÷ 65536     		y = 0.11273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413253784179688 × 2 - 1) × π
    -0.173492431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54504255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11273193359375 × 2 - 1) × π
    0.7745361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43327702471405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54504255} λ = -0.54504255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43327702471405))-π/2
    2×atan(11.3961664748773)-π/2
    2×1.48327170373212-π/2
    2.96654340746423-1.57079632675     		φ = 1.39574708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54504255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.228638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39574708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.970417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27083 KachelY 7388 -0.54504255 1.39574708 -31.228638 79.970417
    Oben rechts KachelX + 1 27084 KachelY 7388 -0.54494667 1.39574708 -31.223144 79.970417
    Unten links KachelX 27083 KachelY + 1 7389 -0.54504255 1.39573038 -31.228638 79.969460
    Unten rechts KachelX + 1 27084 KachelY + 1 7389 -0.54494667 1.39573038 -31.223144 79.969460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39574708-1.39573038) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39574708-1.39573038) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54504255--0.54494667) × cos(1.39574708) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174156632008339 × 6371000     		do = 106.383836414163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54504255--0.54494667) × cos(1.39573038) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174173076774043 × 6371000     		du = 106.393881723631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39574708)-sin(1.39573038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174156632008339-0.174173076774043)×R²
    abs(-0.54494667--0.54504255)×1.64447657034494e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.64447657034494e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.64447657034494e-05×40589641000000     		ar = 11319.3171330688m²