Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27082 / 7357
↖ ↑ ↗
← N 80.000030°
W 31.234131°		 ← 106.06 m → N 80.000030°
W 31.228638°		 →
↑
106.08 m
↓
↑
106.08 m
↓
N 79.999076°
W 31.234131°		 ← 106.07 m →
11 251 m²		 N 79.999076°
W 31.228638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413246154785156 y=0.112266540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413246154785156 × 216)
    floor (0.413246154785156 × 65536)
    floor (27082.5)     		tx = 27082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112266540527344 × 216)
    floor (0.112266540527344 × 65536)
    floor (7357.5)     		ty = 7357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27082 / 7357 ti = "16/27082/7357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27082/7357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27082 ÷ 216
    27082 ÷ 65536     		x = 0.413238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7357 ÷ 216
    7357 ÷ 65536     		y = 0.112258911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.17352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54513842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112258911132812 × 2 - 1) × π
    0.775482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43624911249049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54513842} λ = -0.54513842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43624911249049))-π/2
    2×atan(11.4300872647687)-π/2
    2×1.4835301297701-π/2
    2.9670602595402-1.57079632675     		φ = 1.39626393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54513842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.234131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39626393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.000030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27082 KachelY 7357 -0.54513842 1.39626393 -31.234131 80.000030
    Oben rechts KachelX + 1 27083 KachelY 7357 -0.54504255 1.39626393 -31.228638 80.000030
    Unten links KachelX 27082 KachelY + 1 7358 -0.54513842 1.39624728 -31.234131 79.999076
    Unten rechts KachelX + 1 27083 KachelY + 1 7358 -0.54504255 1.39624728 -31.228638 79.999076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39626393-1.39624728) × R
    1.66499999998404e-05 × 6371000     		dl = 106.077149998983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39626393-1.39624728) × R
    1.66499999998404e-05 × 6371000     		dr = 106.077149998983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54513842--0.54504255) × cos(1.39626393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173647657290022 × 6371000     		do = 106.061865361895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54513842--0.54504255) × cos(1.39624728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173664054316567 × 6371000     		du = 106.071880465173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39626393)-sin(1.39624728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173647657290022-0.173664054316567)×R²
    abs(-0.54504255--0.54513842)×1.6397026544962e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6397026544962e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6397026544962e-05×40589641000000     		ar = 11251.2715879512m²