Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27082 / 10652
↖ ↑ ↗
← N 53.146770°
E117.531738°		 ← 732.70 m → N 53.146770°
E117.542725°		 →
↑
732.73 m
↓
↑
732.73 m
↓
N 53.140181°
E117.531738°		 ← 732.81 m →
536 911 m²		 N 53.140181°
E117.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826492309570312 y=0.325088500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826492309570312 × 215)
    floor (0.826492309570312 × 32768)
    floor (27082.5)     		tx = 27082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325088500976562 × 215)
    floor (0.325088500976562 × 32768)
    floor (10652.5)     		ty = 10652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27082 / 10652 ti = "15/27082/10652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27082/10652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27082 ÷ 215
    27082 ÷ 32768     		x = 0.82647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10652 ÷ 215
    10652 ÷ 32768     		y = 0.3250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82647705078125 × 2 - 1) × π
    0.6529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05131581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3250732421875 × 2 - 1) × π
    0.349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09909723448865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05131581} λ = 2.05131581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09909723448865))-π/2
    2×atan(3.00145519027732)-π/2
    2×1.24919122792532-π/2
    2.49838245585064-1.57079632675     		φ = 0.92758613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05131581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.531738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92758613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.146770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27082 KachelY 10652 2.05131581 0.92758613 117.531738 53.146770
    Oben rechts KachelX + 1 27083 KachelY 10652 2.05150756 0.92758613 117.542725 53.146770
    Unten links KachelX 27082 KachelY + 1 10653 2.05131581 0.92747112 117.531738 53.140181
    Unten rechts KachelX + 1 27083 KachelY + 1 10653 2.05150756 0.92747112 117.542725 53.140181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92758613-0.92747112) × R
    0.000115010000000026 × 6371000     		dl = 732.728710000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92758613-0.92747112) × R
    0.000115010000000026 × 6371000     		dr = 732.728710000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05131581-2.05150756) × cos(0.92758613) × R
    0.000191749999999935 × 0.599767245015635 × 6371000     		do = 732.699207375219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05131581-2.05150756) × cos(0.92747112) × R
    0.000191749999999935 × 0.599859269119562 × 6371000     		du = 732.811627632521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92758613)-sin(0.92747112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599767245015635-0.599859269119562)×R²
    abs(2.05150756-2.05131581)×9.20241039261693e-05×R²
    0.000191749999999935×9.20241039261693e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.20241039261693e-05×40589641000000     		ar = 536910.932404879m²