Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27081 / 24968
↖ ↑ ↗
← S 68.171555°
E117.520752°		 ← 454.24 m → S 68.171555°
E117.531738°		 →
↑
454.25 m
↓
↑
454.25 m
↓
S 68.175640°
E117.520752°		 ← 454.16 m →
206 321 m²		 S 68.175640°
E117.531738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826461791992188 y=0.761978149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826461791992188 × 215)
    floor (0.826461791992188 × 32768)
    floor (27081.5)     		tx = 27081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761978149414062 × 215)
    floor (0.761978149414062 × 32768)
    floor (24968.5)     		ty = 24968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27081 / 24968 ti = "15/27081/24968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27081/24968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27081 ÷ 215
    27081 ÷ 32768     		x = 0.826446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24968 ÷ 215
    24968 ÷ 32768     		y = 0.761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826446533203125 × 2 - 1) × π
    0.65289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05112406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.52392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64596138535425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05112406} λ = 2.05112406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64596138535425))-π/2
    2×atan(0.192827092511198)-π/2
    2×0.190489116294274-π/2
    0.380978232588548-1.57079632675     		φ = -1.18981809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05112406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.520752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18981809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.171555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27081 KachelY 24968 2.05112406 -1.18981809 117.520752 -68.171555
    Oben rechts KachelX + 1 27082 KachelY 24968 2.05131581 -1.18981809 117.531738 -68.171555
    Unten links KachelX 27081 KachelY + 1 24969 2.05112406 -1.18988939 117.520752 -68.175640
    Unten rechts KachelX + 1 27082 KachelY + 1 24969 2.05131581 -1.18988939 117.531738 -68.175640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18981809--1.18988939) × R
    7.13000000001074e-05 × 6371000     		dl = 454.252300000684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18981809--1.18988939) × R
    7.13000000001074e-05 × 6371000     		dr = 454.252300000684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05112406-2.05131581) × cos(-1.18981809) × R
    0.000191750000000379 × 0.371828745709089 × 6371000     		do = 454.240590037391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05112406-2.05131581) × cos(-1.18988939) × R
    0.000191750000000379 × 0.371762556878241 × 6371000     		du = 454.159731163715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18981809)-sin(-1.18988939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371828745709089-0.371762556878241)×R²
    abs(2.05131581-2.05112406)×6.61888308481906e-05×R²
    0.000191750000000379×6.61888308481906e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.61888308481906e-05×40589641000000     		ar = 206321.46770079m²