Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27080 / 7353
↖ ↑ ↗
← N 80.003845°
W 31.245117°		 ← 106.02 m → N 80.003845°
W 31.239624°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
N 80.002892°
W 31.245117°		 ← 106.03 m →
11 240 m²		 N 80.002892°
W 31.239624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413215637207031 y=0.112205505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413215637207031 × 216)
    floor (0.413215637207031 × 65536)
    floor (27080.5)     		tx = 27080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112205505371094 × 216)
    floor (0.112205505371094 × 65536)
    floor (7353.5)     		ty = 7353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27080 / 7353 ti = "16/27080/7353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27080/7353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27080 ÷ 216
    27080 ÷ 65536     		x = 0.4132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7353 ÷ 216
    7353 ÷ 65536     		y = 0.112197875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54533017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112197875976562 × 2 - 1) × π
    0.775604248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43663260768745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54533017} λ = -0.54533017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43663260768745))-π/2
    2×atan(11.4344714889463)-π/2
    2×1.48356342000408-π/2
    2.96712684000816-1.57079632675     		φ = 1.39633051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54533017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.245117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39633051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.003845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27080 KachelY 7353 -0.54533017 1.39633051 -31.245117 80.003845
    Oben rechts KachelX + 1 27081 KachelY 7353 -0.54523430 1.39633051 -31.239624 80.003845
    Unten links KachelX 27080 KachelY + 1 7354 -0.54533017 1.39631387 -31.245117 80.002892
    Unten rechts KachelX + 1 27081 KachelY + 1 7354 -0.54523430 1.39631387 -31.239624 80.002892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39633051-1.39631387) × R
    1.66400000001232e-05 × 6371000     		dl = 106.013440000785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39633051-1.39631387) × R
    1.66400000001232e-05 × 6371000     		dr = 106.013440000785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54533017--0.54523430) × cos(1.39633051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173582088398885 × 6371000     		do = 106.021816685095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54533017--0.54523430) × cos(1.39631387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173598475769736 × 6371000     		du = 106.031825890794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39633051)-sin(1.39631387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173582088398885-0.173598475769736)×R²
    abs(-0.54523430--0.54533017)×1.63873708511619e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63873708511619e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63873708511619e-05×40589641000000     		ar = 11240.2680575402m²