Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27079 / 25018
↖ ↑ ↗
← S 68.374900°
E117.498780°		 ← 450.19 m → S 68.374900°
E117.509765°		 →
↑
450.17 m
↓
↑
450.17 m
↓
S 68.378948°
E117.498780°		 ← 450.11 m →
202 646 m²		 S 68.378948°
E117.509765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826400756835938 y=0.763504028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826400756835938 × 215)
    floor (0.826400756835938 × 32768)
    floor (27079.5)     		tx = 27079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763504028320312 × 215)
    floor (0.763504028320312 × 32768)
    floor (25018.5)     		ty = 25018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27079 / 25018 ti = "15/27079/25018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27079/25018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27079 ÷ 215
    27079 ÷ 32768     		x = 0.826385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25018 ÷ 215
    25018 ÷ 32768     		y = 0.76348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826385498046875 × 2 - 1) × π
    0.65277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05074057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.5269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65554876527826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05074057} λ = 2.05074057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65554876527826))-π/2
    2×atan(0.190987219788129)-π/2
    2×0.188714596643137-π/2
    0.377429193286273-1.57079632675     		φ = -1.19336713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05074057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.498780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19336713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.374900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27079 KachelY 25018 2.05074057 -1.19336713 117.498780 -68.374900
    Oben rechts KachelX + 1 27080 KachelY 25018 2.05093231 -1.19336713 117.509765 -68.374900
    Unten links KachelX 27079 KachelY + 1 25019 2.05074057 -1.19343779 117.498780 -68.378948
    Unten rechts KachelX + 1 27080 KachelY + 1 25019 2.05093231 -1.19343779 117.509765 -68.378948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19336713--1.19343779) × R
    7.06600000000002e-05 × 6371000     		dl = 450.174860000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19336713--1.19343779) × R
    7.06600000000002e-05 × 6371000     		dr = 450.174860000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05074057-2.05093231) × cos(-1.19336713) × R
    0.000191739999999996 × 0.368531832309707 × 6371000     		do = 450.18947206091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05074057-2.05093231) × cos(-1.19343779) × R
    0.000191739999999996 × 0.368466144784718 × 6371000     		du = 450.1092297871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19336713)-sin(-1.19343779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368531832309707-0.368466144784718)×R²
    abs(2.05093231-2.05074057)×6.56875249892552e-05×R²
    0.000191739999999996×6.56875249892552e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.56875249892552e-05×40589641000000     		ar = 202645.921116m²