Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27078 / 6719
↖ ↑ ↗
← N 80.590625°
W 31.256104°		 ← 99.87 m → N 80.590625°
W 31.250610°		 →
↑
99.83 m
↓
↑
99.83 m
↓
N 80.589727°
W 31.256104°		 ← 99.88 m →
9 971 m²		 N 80.589727°
W 31.250610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413185119628906 y=0.102531433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413185119628906 × 216)
    floor (0.413185119628906 × 65536)
    floor (27078.5)     		tx = 27078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102531433105469 × 216)
    floor (0.102531433105469 × 65536)
    floor (6719.5)     		ty = 6719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27078 / 6719 ti = "16/27078/6719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27078/6719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27078 ÷ 216
    27078 ÷ 65536     		x = 0.413177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6719 ÷ 216
    6719 ÷ 65536     		y = 0.102523803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.17364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54552192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102523803710938 × 2 - 1) × π
    0.794952392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49741659640569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54552192} λ = -0.54552192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49741659640569))-π/2
    2×atan(12.1510622798575)-π/2
    2×1.48868403979894-π/2
    2.97736807959788-1.57079632675     		φ = 1.40657175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54552192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.256104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40657175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.590625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27078 KachelY 6719 -0.54552192 1.40657175 -31.256104 80.590625
    Oben rechts KachelX + 1 27079 KachelY 6719 -0.54542604 1.40657175 -31.250610 80.590625
    Unten links KachelX 27078 KachelY + 1 6720 -0.54552192 1.40655608 -31.256104 80.589727
    Unten rechts KachelX + 1 27079 KachelY + 1 6720 -0.54542604 1.40655608 -31.250610 80.589727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40657175-1.40655608) × R
    1.56699999998011e-05 × 6371000     		dl = 99.8335699987329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40657175-1.40655608) × R
    1.56699999998011e-05 × 6371000     		dr = 99.8335699987329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54552192--0.54542604) × cos(1.40657175) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.163487390003546 × 6371000     		do = 99.8665141450532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54552192--0.54542604) × cos(1.40655608) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.163502849150264 × 6371000     		du = 99.8759573877059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40657175)-sin(1.40655608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163487390003546-0.163502849150264)×R²
    abs(-0.54542604--0.54552192)×1.54591467187715e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.54591467187715e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.54591467187715e-05×40589641000000     		ar = 9970.50200688148m²