Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27077 / 7625
↖ ↑ ↗
← N 79.741131°
W 31.261597°		 ← 108.78 m → N 79.741131°
W 31.256104°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 79.740153°
W 31.261597°		 ← 108.79 m →
11 838 m²		 N 79.740153°
W 31.256104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413169860839844 y=0.116355895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413169860839844 × 216)
    floor (0.413169860839844 × 65536)
    floor (27077.5)     		tx = 27077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116355895996094 × 216)
    floor (0.116355895996094 × 65536)
    floor (7625.5)     		ty = 7625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27077 / 7625 ti = "16/27077/7625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27077/7625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27077 ÷ 216
    27077 ÷ 65536     		x = 0.413162231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7625 ÷ 216
    7625 ÷ 65536     		y = 0.116348266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413162231445312 × 2 - 1) × π
    -0.173675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54561779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116348266601562 × 2 - 1) × π
    0.767303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41055493429414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54561779} λ = -0.54561779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41055493429414))-π/2
    2×atan(11.1401414766147)-π/2
    2×1.4812708062054-π/2
    2.96254161241081-1.57079632675     		φ = 1.39174529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54561779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.261597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39174529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.741131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27077 KachelY 7625 -0.54561779 1.39174529 -31.261597 79.741131
    Oben rechts KachelX + 1 27078 KachelY 7625 -0.54552192 1.39174529 -31.256104 79.741131
    Unten links KachelX 27077 KachelY + 1 7626 -0.54561779 1.39172821 -31.261597 79.740153
    Unten rechts KachelX + 1 27078 KachelY + 1 7626 -0.54552192 1.39172821 -31.256104 79.740153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39174529-1.39172821) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dl = 108.816680000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39174529-1.39172821) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dr = 108.816680000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54561779--0.54552192) × cos(1.39174529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178095861491073 × 6371000     		do = 108.778774086359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54561779--0.54552192) × cos(1.39172821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178112668409565 × 6371000     		du = 108.789039546625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39174529)-sin(1.39172821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178095861491073-0.178112668409565)×R²
    abs(-0.54552192--0.54561779)×1.68069184912911e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68069184912911e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68069184912911e-05×40589641000000     		ar = 11837.5035775646m²