Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27077 / 6743
↖ ↑ ↗
← N 80.569047°
W 31.261597°		 ← 100.08 m → N 80.569047°
W 31.256104°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 80.568147°
W 31.261597°		 ← 100.09 m →
10 018 m²		 N 80.568147°
W 31.256104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413169860839844 y=0.102897644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413169860839844 × 216)
    floor (0.413169860839844 × 65536)
    floor (27077.5)     		tx = 27077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102897644042969 × 216)
    floor (0.102897644042969 × 65536)
    floor (6743.5)     		ty = 6743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27077 / 6743 ti = "16/27077/6743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27077/6743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27077 ÷ 216
    27077 ÷ 65536     		x = 0.413162231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6743 ÷ 216
    6743 ÷ 65536     		y = 0.102890014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413162231445312 × 2 - 1) × π
    -0.173675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54561779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102890014648438 × 2 - 1) × π
    0.794219970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49511562522392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54561779} λ = -0.54561779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49511562522392))-π/2
    2×atan(12.1231351777739)-π/2
    2×1.48849573627525-π/2
    2.9769914725505-1.57079632675     		φ = 1.40619515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54561779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.261597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40619515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.569047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27077 KachelY 6743 -0.54561779 1.40619515 -31.261597 80.569047
    Oben rechts KachelX + 1 27078 KachelY 6743 -0.54552192 1.40619515 -31.256104 80.569047
    Unten links KachelX 27077 KachelY + 1 6744 -0.54561779 1.40617944 -31.261597 80.568147
    Unten rechts KachelX + 1 27078 KachelY + 1 6744 -0.54552192 1.40617944 -31.256104 80.568147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40619515-1.40617944) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40619515-1.40617944) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54561779--0.54552192) × cos(1.40619515) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163858911407875 × 6371000     		do = 100.083019093441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54561779--0.54552192) × cos(1.40617944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163874409047908 × 6371000     		du = 100.092484862438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40619515)-sin(1.40617944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163858911407875-0.163874409047908)×R²
    abs(-0.54552192--0.54561779)×1.54976400338902e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54976400338902e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54976400338902e-05×40589641000000     		ar = 10017.6239560589m²