Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27077 / 25403
↖ ↑ ↗
← S 69.881231°
E117.476807°		 ← 420.20 m → S 69.881231°
E117.487793°		 →
↑
420.17 m
↓
↑
420.17 m
↓
S 69.885010°
E117.476807°		 ← 420.13 m →
176 540 m²		 S 69.885010°
E117.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826339721679688 y=0.775253295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826339721679688 × 215)
    floor (0.826339721679688 × 32768)
    floor (27077.5)     		tx = 27077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775253295898438 × 215)
    floor (0.775253295898438 × 32768)
    floor (25403.5)     		ty = 25403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27077 / 25403 ti = "15/27077/25403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27077/25403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27077 ÷ 215
    27077 ÷ 32768     		x = 0.826324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25403 ÷ 215
    25403 ÷ 32768     		y = 0.775238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826324462890625 × 2 - 1) × π
    0.65264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05035707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.55047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72937159069315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05035707} λ = 2.05035707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72937159069315))-π/2
    2×atan(0.177395852155049)-π/2
    2×0.175569376406371-π/2
    0.351138752812743-1.57079632675     		φ = -1.21965757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05035707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.476807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21965757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.881231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27077 KachelY 25403 2.05035707 -1.21965757 117.476807 -69.881231
    Oben rechts KachelX + 1 27078 KachelY 25403 2.05054882 -1.21965757 117.487793 -69.881231
    Unten links KachelX 27077 KachelY + 1 25404 2.05035707 -1.21972352 117.476807 -69.885010
    Unten rechts KachelX + 1 27078 KachelY + 1 25404 2.05054882 -1.21972352 117.487793 -69.885010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21965757--1.21972352) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dl = 420.167449999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21965757--1.21972352) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dr = 420.167449999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05035707-2.05054882) × cos(-1.21965757) × R
    0.000191749999999935 × 0.343967301954688 × 6371000     		do = 420.203956784306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05035707-2.05054882) × cos(-1.21972352) × R
    0.000191749999999935 × 0.343905375368429 × 6371000     		du = 420.128304835914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21965757)-sin(-1.21972352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343967301954688-0.343905375368429)×R²
    abs(2.05054882-2.05035707)×6.19265862587537e-05×R²
    0.000191749999999935×6.19265862587537e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.19265862587537e-05×40589641000000     		ar = 176540.131822616m²