Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27077 / 11980
↖ ↑ ↗
← N 43.484812°
E117.476807°		 ← 886.37 m → N 43.484812°
E117.487793°		 →
↑
886.46 m
↓
↑
886.46 m
↓
N 43.476840°
E117.476807°		 ← 886.49 m →
785 783 m²		 N 43.476840°
E117.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826339721679688 y=0.365615844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826339721679688 × 215)
    floor (0.826339721679688 × 32768)
    floor (27077.5)     		tx = 27077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365615844726562 × 215)
    floor (0.365615844726562 × 32768)
    floor (11980.5)     		ty = 11980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27077 / 11980 ti = "15/27077/11980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27077/11980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27077 ÷ 215
    27077 ÷ 32768     		x = 0.826324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11980 ÷ 215
    11980 ÷ 32768     		y = 0.3656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826324462890625 × 2 - 1) × π
    0.65264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05035707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3656005859375 × 2 - 1) × π
    0.268798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.844456423706909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05035707} λ = 2.05035707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.844456423706909))-π/2
    2×atan(2.32671272488692)-π/2
    2×1.16487473651907-π/2
    2.32974947303813-1.57079632675     		φ = 0.75895315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05035707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.476807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75895315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.484812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27077 KachelY 11980 2.05035707 0.75895315 117.476807 43.484812
    Oben rechts KachelX + 1 27078 KachelY 11980 2.05054882 0.75895315 117.487793 43.484812
    Unten links KachelX 27077 KachelY + 1 11981 2.05035707 0.75881401 117.476807 43.476840
    Unten rechts KachelX + 1 27078 KachelY + 1 11981 2.05054882 0.75881401 117.487793 43.476840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75895315-0.75881401) × R
    0.000139139999999927 × 6371000     		dl = 886.460939999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75895315-0.75881401) × R
    0.000139139999999927 × 6371000     		dr = 886.460939999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05035707-2.05054882) × cos(0.75895315) × R
    0.000191749999999935 × 0.725556810851977 × 6371000     		do = 886.368678241301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05035707-2.05054882) × cos(0.75881401) × R
    0.000191749999999935 × 0.725652554726991 × 6371000     		du = 886.485642716964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75895315)-sin(0.75881401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725556810851977-0.725652554726991)×R²
    abs(2.05054882-2.05035707)×9.5743875013099e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5743875013099e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5743875013099e-05×40589641000000     		ar = 785783.055187322m²