Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27076 / 5972
↖ ↑ ↗
← N 81.238313°
W 31.267090°		 ← 93.05 m → N 81.238313°
W 31.261597°		 →
↑
93.02 m
↓
↑
93.02 m
↓
N 81.237476°
W 31.267090°		 ← 93.06 m →
8 655 m²		 N 81.237476°
W 31.261597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413154602050781 y=0.0911331176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413154602050781 × 216)
    floor (0.413154602050781 × 65536)
    floor (27076.5)     		tx = 27076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0911331176757812 × 216)
    floor (0.0911331176757812 × 65536)
    floor (5972.5)     		ty = 5972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27076 / 5972 ti = "16/27076/5972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27076/5972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27076 ÷ 216
    27076 ÷ 65536     		x = 0.41314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5972 ÷ 216
    5972 ÷ 65536     		y = 0.09112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54571367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09112548828125 × 2 - 1) × π
    0.8177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56903432443805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54571367} λ = -0.54571367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56903432443805))-π/2
    2×atan(13.0532131837467)-π/2
    2×1.49433618565572-π/2
    2.98867237131144-1.57079632675     		φ = 1.41787604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54571367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.267090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41787604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.238313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27076 KachelY 5972 -0.54571367 1.41787604 -31.267090 81.238313
    Oben rechts KachelX + 1 27077 KachelY 5972 -0.54561779 1.41787604 -31.261597 81.238313
    Unten links KachelX 27076 KachelY + 1 5973 -0.54571367 1.41786144 -31.267090 81.237476
    Unten rechts KachelX + 1 27077 KachelY + 1 5973 -0.54561779 1.41786144 -31.261597 81.237476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41787604-1.41786144) × R
    1.45999999998647e-05 × 6371000     		dl = 93.0165999991381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41787604-1.41786144) × R
    1.45999999998647e-05 × 6371000     		dr = 93.0165999991381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54571367--0.54561779) × cos(1.41787604) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.152324986282199 × 6371000     		do = 93.0479433115077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54571367--0.54561779) × cos(1.41786144) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.152339415890682 × 6371000     		du = 93.0567576592056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41787604)-sin(1.41786144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152324986282199-0.152339415890682)×R²
    abs(-0.54561779--0.54571367)×1.44296084834405e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.44296084834405e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.44296084834405e-05×40589641000000     		ar = 8655.41326405118m²