Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27076 / 11979
↖ ↑ ↗
← N 43.492783°
E117.465820°		 ← 886.25 m → N 43.492783°
E117.476807°		 →
↑
886.27 m
↓
↑
886.27 m
↓
N 43.484812°
E117.465820°		 ← 886.37 m →
785 510 m²		 N 43.484812°
E117.476807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826309204101562 y=0.365585327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826309204101562 × 215)
    floor (0.826309204101562 × 32768)
    floor (27076.5)     		tx = 27076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365585327148438 × 215)
    floor (0.365585327148438 × 32768)
    floor (11979.5)     		ty = 11979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27076 / 11979 ti = "15/27076/11979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27076/11979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27076 ÷ 215
    27076 ÷ 32768     		x = 0.8262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11979 ÷ 215
    11979 ÷ 32768     		y = 0.365570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8262939453125 × 2 - 1) × π
    0.652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05016532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365570068359375 × 2 - 1) × π
    0.26885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.844648171305389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05016532} λ = 2.05016532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.844648171305389))-π/2
    2×atan(2.3271589092403)-π/2
    2×1.16494429381785-π/2
    2.32988858763569-1.57079632675     		φ = 0.75909226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05016532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.465820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75909226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.492783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27076 KachelY 11979 2.05016532 0.75909226 117.465820 43.492783
    Oben rechts KachelX + 1 27077 KachelY 11979 2.05035707 0.75909226 117.476807 43.492783
    Unten links KachelX 27076 KachelY + 1 11980 2.05016532 0.75895315 117.465820 43.484812
    Unten rechts KachelX + 1 27077 KachelY + 1 11980 2.05035707 0.75895315 117.476807 43.484812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75909226-0.75895315) × R
    0.000139109999999998 × 6371000     		dl = 886.269809999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75909226-0.75895315) × R
    0.000139109999999998 × 6371000     		dr = 886.269809999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05016532-2.05035707) × cos(0.75909226) × R
    0.000191749999999935 × 0.725461073578125 × 6371000     		do = 886.251721829875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05016532-2.05035707) × cos(0.75895315) × R
    0.000191749999999935 × 0.725556810851977 × 6371000     		du = 886.368678241301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75909226)-sin(0.75895315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725461073578125-0.725556810851977)×R²
    abs(2.05035707-2.05016532)×9.57372738528139e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57372738528139e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57372738528139e-05×40589641000000     		ar = 785509.973852847m²