Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27075 / 6994
↖ ↑ ↗
← N 80.340419°
W 31.272583°		 ← 102.49 m → N 80.340419°
W 31.267090°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
N 80.339497°
W 31.272583°		 ← 102.50 m →
10 506 m²		 N 80.339497°
W 31.267090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413139343261719 y=0.106727600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413139343261719 × 216)
    floor (0.413139343261719 × 65536)
    floor (27075.5)     		tx = 27075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106727600097656 × 216)
    floor (0.106727600097656 × 65536)
    floor (6994.5)     		ty = 6994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27075 / 6994 ti = "16/27075/6994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27075/6994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27075 ÷ 216
    27075 ÷ 65536     		x = 0.413131713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6994 ÷ 216
    6994 ÷ 65536     		y = 0.106719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413131713867188 × 2 - 1) × π
    -0.173736572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54580954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106719970703125 × 2 - 1) × π
    0.78656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47105130161465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54580954} λ = -0.54580954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47105130161465))-π/2
    2×atan(11.8348823446923)-π/2
    2×1.48650057657358-π/2
    2.97300115314716-1.57079632675     		φ = 1.40220483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54580954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.272583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40220483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.340419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27075 KachelY 6994 -0.54580954 1.40220483 -31.272583 80.340419
    Oben rechts KachelX + 1 27076 KachelY 6994 -0.54571367 1.40220483 -31.267090 80.340419
    Unten links KachelX 27075 KachelY + 1 6995 -0.54580954 1.40218874 -31.272583 80.339497
    Unten rechts KachelX + 1 27076 KachelY + 1 6995 -0.54571367 1.40218874 -31.267090 80.339497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40220483-1.40218874) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dl = 102.509390000861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40220483-1.40218874) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dr = 102.509390000861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54580954--0.54571367) × cos(1.40220483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167793982404087 × 6371000     		do = 102.486512332009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54580954--0.54571367) × cos(1.40218874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167809844259683 × 6371000     		du = 102.496200559417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40220483)-sin(1.40218874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167793982404087-0.167809844259683)×R²
    abs(-0.54571367--0.54580954)×1.58618555961276e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58618555961276e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58618555961276e-05×40589641000000     		ar = 10506.32642974m²