Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27075 / 25379
↖ ↑ ↗
← S 69.790341°
E117.454834°		 ← 422 m → S 69.790341°
E117.465820°		 →
↑
422.02 m
↓
↑
422.02 m
↓
S 69.794136°
E117.454834°		 ← 421.93 m →
178 075 m²		 S 69.794136°
E117.465820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826278686523438 y=0.774520874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826278686523438 × 215)
    floor (0.826278686523438 × 32768)
    floor (27075.5)     		tx = 27075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774520874023438 × 215)
    floor (0.774520874023438 × 32768)
    floor (25379.5)     		ty = 25379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27075 / 25379 ti = "15/27075/25379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27075/25379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27075 ÷ 215
    27075 ÷ 32768     		x = 0.826263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25379 ÷ 215
    25379 ÷ 32768     		y = 0.774505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826263427734375 × 2 - 1) × π
    0.65252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04997358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.54901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72476964832962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04997358} λ = 2.04997358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72476964832962))-π/2
    2×atan(0.178214098960454)-π/2
    2×0.176362547382405-π/2
    0.35272509476481-1.57079632675     		φ = -1.21807123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04997358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.454834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21807123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.790341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27075 KachelY 25379 2.04997358 -1.21807123 117.454834 -69.790341
    Oben rechts KachelX + 1 27076 KachelY 25379 2.05016532 -1.21807123 117.465820 -69.790341
    Unten links KachelX 27075 KachelY + 1 25380 2.04997358 -1.21813747 117.454834 -69.794136
    Unten rechts KachelX + 1 27076 KachelY + 1 25380 2.05016532 -1.21813747 117.465820 -69.794136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21807123--1.21813747) × R
    6.62399999999952e-05 × 6371000     		dl = 422.015039999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21807123--1.21813747) × R
    6.62399999999952e-05 × 6371000     		dr = 422.015039999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04997358-2.05016532) × cos(-1.21807123) × R
    0.000191739999999996 × 0.345456412651177 × 6371000     		do = 422.001103830815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04997358-2.05016532) × cos(-1.21813747) × R
    0.000191739999999996 × 0.345394249972427 × 6371000     		du = 421.925167422954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21807123)-sin(-1.21813747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345456412651177-0.345394249972427)×R²
    abs(2.05016532-2.04997358)×6.21626787493113e-05×R²
    0.000191739999999996×6.21626787493113e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.21626787493113e-05×40589641000000     		ar = 178074.789625769m²