Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27074 / 6726
↖ ↑ ↗
← N 80.584337°
W 31.278076°		 ← 99.92 m → N 80.584337°
W 31.272583°		 →
↑
99.96 m
↓
↑
99.96 m
↓
N 80.583438°
W 31.278076°		 ← 99.93 m →
9 989 m²		 N 80.583438°
W 31.272583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413124084472656 y=0.102638244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413124084472656 × 216)
    floor (0.413124084472656 × 65536)
    floor (27074.5)     		tx = 27074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102638244628906 × 216)
    floor (0.102638244628906 × 65536)
    floor (6726.5)     		ty = 6726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27074 / 6726 ti = "16/27074/6726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27074/6726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27074 ÷ 216
    27074 ÷ 65536     		x = 0.413116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6726 ÷ 216
    6726 ÷ 65536     		y = 0.102630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.17376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54590541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102630615234375 × 2 - 1) × π
    0.79473876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.496745479811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54590541} λ = -0.54590541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.496745479811))-π/2
    2×atan(12.1429102361104)-π/2
    2×1.48862916208485-π/2
    2.9772583241697-1.57079632675     		φ = 1.40646200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54590541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.278076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40646200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.584337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27074 KachelY 6726 -0.54590541 1.40646200 -31.278076 80.584337
    Oben rechts KachelX + 1 27075 KachelY 6726 -0.54580954 1.40646200 -31.272583 80.584337
    Unten links KachelX 27074 KachelY + 1 6727 -0.54590541 1.40644631 -31.278076 80.583438
    Unten rechts KachelX + 1 27075 KachelY + 1 6727 -0.54580954 1.40644631 -31.272583 80.583438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40646200-1.40644631) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dl = 99.9609900007878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40646200-1.40644631) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dr = 99.9609900007878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54590541--0.54580954) × cos(1.40646200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163595662378987 × 6371000     		do = 99.9222298061322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54590541--0.54580954) × cos(1.40644631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163611140974935 × 6371000     		du = 99.9316839432341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40646200)-sin(1.40644631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163595662378987-0.163611140974935)×R²
    abs(-0.54580954--0.54590541)×1.54785959481374e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54785959481374e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54785959481374e-05×40589641000000     		ar = 9988.79753694495m²