Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27074 / 25024
↖ ↑ ↗
← S 68.399180°
E117.443848°		 ← 449.73 m → S 68.399180°
E117.454834°		 →
↑
449.67 m
↓
↑
449.67 m
↓
S 68.403224°
E117.443848°		 ← 449.65 m →
202 211 m²		 S 68.403224°
E117.454834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826248168945312 y=0.763687133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826248168945312 × 215)
    floor (0.826248168945312 × 32768)
    floor (27074.5)     		tx = 27074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763687133789062 × 215)
    floor (0.763687133789062 × 32768)
    floor (25024.5)     		ty = 25024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27074 / 25024 ti = "15/27074/25024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27074/25024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27074 ÷ 215
    27074 ÷ 32768     		x = 0.82623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25024 ÷ 215
    25024 ÷ 32768     		y = 0.763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82623291015625 × 2 - 1) × π
    0.6524658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04978183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763671875 × 2 - 1) × π
    -0.52734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65669925086914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04978183} λ = 2.04978183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65669925086914))-π/2
    2×atan(0.190767618092236)-π/2
    2×0.188502714694935-π/2
    0.37700542938987-1.57079632675     		φ = -1.19379090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04978183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.443848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19379090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.399180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27074 KachelY 25024 2.04978183 -1.19379090 117.443848 -68.399180
    Oben rechts KachelX + 1 27075 KachelY 25024 2.04997358 -1.19379090 117.454834 -68.399180
    Unten links KachelX 27074 KachelY + 1 25025 2.04978183 -1.19386148 117.443848 -68.403224
    Unten rechts KachelX + 1 27075 KachelY + 1 25025 2.04997358 -1.19386148 117.454834 -68.403224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19379090--1.19386148) × R
    7.05800000000423e-05 × 6371000     		dl = 449.665180000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19379090--1.19386148) × R
    7.05800000000423e-05 × 6371000     		dr = 449.665180000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04978183-2.04997358) × cos(-1.19379090) × R
    0.000191749999999935 × 0.368137856227506 × 6371000     		do = 449.731654578226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04978183-2.04997358) × cos(-1.19386148) × R
    0.000191749999999935 × 0.368072232058011 × 6371000     		du = 449.651485517022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19379090)-sin(-1.19386148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368137856227506-0.368072232058011)×R²
    abs(2.04997358-2.04978183)×6.56241694956816e-05×R²
    0.000191749999999935×6.56241694956816e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.56241694956816e-05×40589641000000     		ar = 202210.640873929m²