Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27073 / 6742
↖ ↑ ↗
← N 80.569947°
W 31.283570°		 ← 100.08 m → N 80.569947°
W 31.278076°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
N 80.569047°
W 31.283570°		 ← 100.09 m →
10 011 m²		 N 80.569047°
W 31.278076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413108825683594 y=0.102882385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413108825683594 × 216)
    floor (0.413108825683594 × 65536)
    floor (27073.5)     		tx = 27073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102882385253906 × 216)
    floor (0.102882385253906 × 65536)
    floor (6742.5)     		ty = 6742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27073 / 6742 ti = "16/27073/6742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27073/6742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27073 ÷ 216
    27073 ÷ 65536     		x = 0.413101196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6742 ÷ 216
    6742 ÷ 65536     		y = 0.102874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413101196289062 × 2 - 1) × π
    -0.173797607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54600129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102874755859375 × 2 - 1) × π
    0.79425048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49521149902316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54600129} λ = -0.54600129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49521149902316))-π/2
    2×atan(12.1242975245205)-π/2
    2×1.4885035907922-π/2
    2.97700718158441-1.57079632675     		φ = 1.40621085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54600129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.283570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40621085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.569947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27073 KachelY 6742 -0.54600129 1.40621085 -31.283570 80.569947
    Oben rechts KachelX + 1 27074 KachelY 6742 -0.54590541 1.40621085 -31.278076 80.569947
    Unten links KachelX 27073 KachelY + 1 6743 -0.54600129 1.40619515 -31.283570 80.569047
    Unten rechts KachelX + 1 27074 KachelY + 1 6743 -0.54590541 1.40619515 -31.278076 80.569047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40621085-1.40619515) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dl = 100.024699998986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40621085-1.40619515) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dr = 100.024699998986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54600129--0.54590541) × cos(1.40621085) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163843423592263 × 6371000     		do = 100.083997789535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54600129--0.54590541) × cos(1.40619515) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163858911407875 × 6371000     		du = 100.093458544623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40621085)-sin(1.40619515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163843423592263-0.163858911407875)×R²
    abs(-0.54590541--0.54600129)×1.54878156112259e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.54878156112259e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.54878156112259e-05×40589641000000     		ar = 10011.3450084741m²