Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 27072 / 8640
↖ ↑ ↗
← N 82.517748°
W105.644531°		 ← 39.77 m → N 82.517748°
W105.641785°		 →
↑
39.76 m
↓
↑
39.76 m
↓
N 82.517391°
W105.644531°		 ← 39.77 m →
1 581 m²		 N 82.517391°
W105.641785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.206546783447266 y=0.0659217834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.206546783447266 × 217)
    floor (0.206546783447266 × 131072)
    floor (27072.5)     		tx = 27072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0659217834472656 × 217)
    floor (0.0659217834472656 × 131072)
    floor (8640.5)     		ty = 8640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27072 / 8640 ti = "17/27072/8640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27072/8640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27072 ÷ 217
    27072 ÷ 131072     		x = 0.20654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8640 ÷ 217
    8640 ÷ 131072     		y = 0.06591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20654296875 × 2 - 1) × π
    -0.5869140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.84384491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06591796875 × 2 - 1) × π
    0.8681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.72741784078271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84384491} λ = -1.84384491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72741784078271))-π/2
    2×atan(15.2933461367591)-π/2
    2×1.50550136498839-π/2
    3.01100272997677-1.57079632675     		φ = 1.44020640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84384491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44020640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.517748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27072 KachelY 8640 -1.84384491 1.44020640 -105.644531 82.517748
    Oben rechts KachelX + 1 27073 KachelY 8640 -1.84379697 1.44020640 -105.641785 82.517748
    Unten links KachelX 27072 KachelY + 1 8641 -1.84384491 1.44020016 -105.644531 82.517391
    Unten rechts KachelX + 1 27073 KachelY + 1 8641 -1.84379697 1.44020016 -105.641785 82.517391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44020640-1.44020016) × R
    6.24000000004621e-06 × 6371000     		dl = 39.7550400002944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44020640-1.44020016) × R
    6.24000000004621e-06 × 6371000     		dr = 39.7550400002944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84384491--1.84379697) × cos(1.44020640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.130219068958444 × 6371000     		do = 39.7722554987177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84384491--1.84379697) × cos(1.44020016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.130225255823847 × 6371000     		du = 39.7741451266617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44020640)-sin(1.44020016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130219068958444-0.130225255823847)×R²
    abs(-1.84379697--1.84384491)×6.1868654031294e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.1868654031294e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.1868654031294e-06×40589641000000     		ar = 1581.18516922691m²