Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27072 / 7746
↖ ↑ ↗
← N 79.622078°
W 31.289062°		 ← 110.03 m → N 79.622078°
W 31.283570°		 →
↑
110.03 m
↓
↑
110.03 m
↓
N 79.621088°
W 31.289062°		 ← 110.04 m →
12 107 m²		 N 79.621088°
W 31.283570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413093566894531 y=0.118202209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413093566894531 × 216)
    floor (0.413093566894531 × 65536)
    floor (27072.5)     		tx = 27072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118202209472656 × 216)
    floor (0.118202209472656 × 65536)
    floor (7746.5)     		ty = 7746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27072 / 7746 ti = "16/27072/7746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27072/7746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27072 ÷ 216
    27072 ÷ 65536     		x = 0.4130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7746 ÷ 216
    7746 ÷ 65536     		y = 0.118194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4130859375 × 2 - 1) × π
    -0.173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54609716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118194580078125 × 2 - 1) × π
    0.76361083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39895420458609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54609716} λ = -0.54609716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39895420458609))-π/2
    2×atan(11.0116544191933)-π/2
    2×1.48023186734377-π/2
    2.96046373468753-1.57079632675     		φ = 1.38966741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54609716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.289062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38966741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.622078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27072 KachelY 7746 -0.54609716 1.38966741 -31.289062 79.622078
    Oben rechts KachelX + 1 27073 KachelY 7746 -0.54600129 1.38966741 -31.283570 79.622078
    Unten links KachelX 27072 KachelY + 1 7747 -0.54609716 1.38965014 -31.289062 79.621088
    Unten rechts KachelX + 1 27073 KachelY + 1 7747 -0.54600129 1.38965014 -31.283570 79.621088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38966741-1.38965014) × R
    1.72699999998471e-05 × 6371000     		dl = 110.027169999026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38966741-1.38965014) × R
    1.72699999998471e-05 × 6371000     		dr = 110.027169999026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54609716--0.54600129) × cos(1.38966741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18014013677586 × 6371000     		do = 110.02739242882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54609716--0.54600129) × cos(1.38965014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180157124228313 × 6371000     		du = 110.037768157022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38966741)-sin(1.38965014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18014013677586-0.180157124228313)×R²
    abs(-0.54600129--0.54609716)×1.6987452452516e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6987452452516e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6987452452516e-05×40589641000000     		ar = 12106.5734175897m²