Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27072 / 25408
↖ ↑ ↗
← S 69.900118°
E117.421875°		 ← 419.83 m → S 69.900118°
E117.432861°		 →
↑
419.79 m
↓
↑
419.79 m
↓
S 69.903893°
E117.421875°		 ← 419.75 m →
176 221 m²		 S 69.903893°
E117.432861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826187133789062 y=0.775405883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826187133789062 × 215)
    floor (0.826187133789062 × 32768)
    floor (27072.5)     		tx = 27072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775405883789062 × 215)
    floor (0.775405883789062 × 32768)
    floor (25408.5)     		ty = 25408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27072 / 25408 ti = "15/27072/25408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27072/25408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27072 ÷ 215
    27072 ÷ 32768     		x = 0.826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25408 ÷ 215
    25408 ÷ 32768     		y = 0.775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826171875 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04939833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775390625 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04939833} λ = 2.04939833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73033032868555))-π/2
    2×atan(0.177225857515075)-π/2
    2×0.175404563347454-π/2
    0.350809126694908-1.57079632675     		φ = -1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04939833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27072 KachelY 25408 2.04939833 -1.21998720 117.421875 -69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 27073 KachelY 25408 2.04959008 -1.21998720 117.432861 -69.900118
    Unten links KachelX 27072 KachelY + 1 25409 2.04939833 -1.22005309 117.421875 -69.903893
    Unten rechts KachelX + 1 27073 KachelY + 1 25409 2.04959008 -1.22005309 117.432861 -69.903893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21998720--1.22005309) × R
    6.58899999999019e-05 × 6371000     		dl = 419.785189999375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21998720--1.22005309) × R
    6.58899999999019e-05 × 6371000     		dr = 419.785189999375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04939833-2.04959008) × cos(-1.21998720) × R
    0.000191750000000379 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 419.825816441771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04939833-2.04959008) × cos(-1.22005309) × R
    0.000191750000000379 × 0.343595889046952 × 6371000     		du = 419.750224199232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21998720)-sin(-1.22005309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.343595889046952)×R²
    abs(2.04959008-2.04939833)×6.18777127036063e-05×R²
    0.000191750000000379×6.18777127036063e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.18777127036063e-05×40589641000000     		ar = 176220.793932807m²