Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27072 / 25023
↖ ↑ ↗
← S 68.395135°
E117.421875°		 ← 449.81 m → S 68.395135°
E117.432861°		 →
↑
449.79 m
↓
↑
449.79 m
↓
S 68.399180°
E117.421875°		 ← 449.73 m →
202 304 m²		 S 68.399180°
E117.432861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826187133789062 y=0.763656616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826187133789062 × 215)
    floor (0.826187133789062 × 32768)
    floor (27072.5)     		tx = 27072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763656616210938 × 215)
    floor (0.763656616210938 × 32768)
    floor (25023.5)     		ty = 25023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27072 / 25023 ti = "15/27072/25023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27072/25023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27072 ÷ 215
    27072 ÷ 32768     		x = 0.826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25023 ÷ 215
    25023 ÷ 32768     		y = 0.763641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826171875 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04939833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.52728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65650750327066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04939833} λ = 2.04939833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65650750327066))-π/2
    2×atan(0.190804200832087)-π/2
    2×0.188538012616445-π/2
    0.377076025232891-1.57079632675     		φ = -1.19372030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04939833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19372030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.395135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27072 KachelY 25023 2.04939833 -1.19372030 117.421875 -68.395135
    Oben rechts KachelX + 1 27073 KachelY 25023 2.04959008 -1.19372030 117.432861 -68.395135
    Unten links KachelX 27072 KachelY + 1 25024 2.04939833 -1.19379090 117.421875 -68.399180
    Unten rechts KachelX + 1 27073 KachelY + 1 25024 2.04959008 -1.19379090 117.432861 -68.399180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19372030--1.19379090) × R
    7.05999999999207e-05 × 6371000     		dl = 449.792599999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19372030--1.19379090) × R
    7.05999999999207e-05 × 6371000     		dr = 449.792599999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04939833-2.04959008) × cos(-1.19372030) × R
    0.000191750000000379 × 0.368203497158014 × 6371000     		do = 449.811844116383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04939833-2.04959008) × cos(-1.19379090) × R
    0.000191750000000379 × 0.368137856227506 × 6371000     		du = 449.731654579268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19372030)-sin(-1.19379090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368203497158014-0.368137856227506)×R²
    abs(2.04959008-2.04939833)×6.56409305079819e-05×R²
    0.000191750000000379×6.56409305079819e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.56409305079819e-05×40589641000000     		ar = 202304.004629912m²