Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27071 / 7745
↖ ↑ ↗
← N 79.623067°
W 31.294555°		 ← 110.02 m → N 79.623067°
W 31.289062°		 →
↑
110.03 m
↓
↑
110.03 m
↓
N 79.622078°
W 31.294555°		 ← 110.03 m →
12 105 m²		 N 79.622078°
W 31.289062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413078308105469 y=0.118186950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413078308105469 × 216)
    floor (0.413078308105469 × 65536)
    floor (27071.5)     		tx = 27071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118186950683594 × 216)
    floor (0.118186950683594 × 65536)
    floor (7745.5)     		ty = 7745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27071 / 7745 ti = "16/27071/7745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27071/7745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27071 ÷ 216
    27071 ÷ 65536     		x = 0.413070678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7745 ÷ 216
    7745 ÷ 65536     		y = 0.118179321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413070678710938 × 2 - 1) × π
    -0.173858642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54619303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118179321289062 × 2 - 1) × π
    0.763641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39905007838533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54619303} λ = -0.54619303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39905007838533))-π/2
    2×atan(11.0127101989484)-π/2
    2×1.48024050229635-π/2
    2.9604810045927-1.57079632675     		φ = 1.38968468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54619303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.294555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38968468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.623067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27071 KachelY 7745 -0.54619303 1.38968468 -31.294555 79.623067
    Oben rechts KachelX + 1 27072 KachelY 7745 -0.54609716 1.38968468 -31.289062 79.623067
    Unten links KachelX 27071 KachelY + 1 7746 -0.54619303 1.38966741 -31.294555 79.622078
    Unten rechts KachelX + 1 27072 KachelY + 1 7746 -0.54609716 1.38966741 -31.289062 79.622078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38968468-1.38966741) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dl = 110.027170000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38968468-1.38966741) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dr = 110.027170000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54619303--0.54609716) × cos(1.38968468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18012314926968 × 6371000     		do = 110.017016667803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54619303--0.54609716) × cos(1.38966741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18014013677586 × 6371000     		du = 110.02739242882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38968468)-sin(1.38966741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18012314926968-0.18014013677586)×R²
    abs(-0.54609716--0.54619303)×1.69875061800384e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69875061800384e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69875061800384e-05×40589641000000     		ar = 12105.4318041982m²